Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{1 - e^{x}}{\ln (2 - e^{x})}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - e^{x}}{lim_{x \to 0} \ln (2 - e^{x})}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} \ln (2 - e^{x})}$

Этап 1.1.2.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} \ln (2 - e^{x})}$

Этап 1.1.2.1.3

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{1 - e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \ln (2 - e^{x})}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1 - e^{0}}{lim_{x \to 0} \ln (2 - e^{x})}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \ln (2 - e^{x})}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} \ln (2 - e^{x})}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \ln (2 - e^{x})}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} 2 - e^{x})}$

Этап 1.1.3.1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} e^{x})}$

Этап 1.1.3.1.3

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{0}{\ln (2 - lim_{x \to 0} e^{x})}$

Этап 1.1.3.1.4

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{0}{\ln (2 - e^{lim_{x \to 0} x})}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{\ln (2 - e^{0})}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{0}{\ln (2 - 1 \cdot 1)}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{\ln (2 - 1)}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Этап 1.1.3.3.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - e^{x}}{\ln (2 - e^{x})} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 - e^{x})]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 - e^{x})]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $1 - e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 - e^{x})]}$

Этап 1.3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 - e^{x})]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- e^{x}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 - e^{x})]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - e^{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (2 - e^{x})]}$

Этап 1.3.5

Вычтем $e^{x}$ из $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (2 - e^{x})]}$

Этап 1.3.6

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 2 - e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 - e^{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 - e^{x}]}$

Этап 1.3.6.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 - e^{x}]}$

Этап 1.3.6.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 - e^{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{\frac{1}{2 - e^{x}} \frac{d}{d x} [2 - e^{x}]}$

Этап 1.3.7

По правилу суммы производная $2 - e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{\frac{1}{2 - e^{x}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- e^{x}])}$

Этап 1.3.8

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{\frac{1}{2 - e^{x}} (0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}])}$

Этап 1.3.9

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{\frac{1}{2 - e^{x}} \frac{d}{d x} [- e^{x}]}$

Этап 1.3.10

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- e^{x}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{\frac{1}{2 - e^{x}} (- \frac{d}{d x} [e^{x}])}$

Этап 1.3.11

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{\frac{1}{2 - e^{x}} (- e^{x})}$

Этап 1.3.12

Объединим $\frac{1}{2 - e^{x}}$ и $e^{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{- \frac{e^{x}}{2 - e^{x}}}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 0} - e^{x} (- \frac{2 - e^{x}}{e^{x}})$

Этап 1.5

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 0} 1 e^{x} \frac{2 - e^{x}}{e^{x}}$

Этап 1.5.2

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} e^{x} \frac{2 - e^{x}}{e^{x}}$

Этап 1.5.3

Объединим $e^{x}$ и $\frac{2 - e^{x}}{e^{x}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} (2 - e^{x})}{e^{x}}$

Этап 1.6

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} (2 - e^{x})}{e^{x}}$

Этап 1.6.2

Разделим $2 - e^{x}$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} 2 - e^{x}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} e^{x}$

Этап 2.2

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$2 - lim_{x \to 0} e^{x}$

Этап 2.3

Внесем предел под знак экспоненты.

$2 - e^{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 - e^{0}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$2 - 1 \cdot 1$

Этап 4.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 - 1$

Этап 4.2

Вычтем $1$ из $2$ .

$1$