Математический анализ Примеры

$\int \frac{(2 r - 1) \cos (\sqrt{3 {(2 r - 1)}^{2} + 6})}{\sqrt{3 {(2 r - 1)}^{2} + 6}} d r$

Этап 1

Пусть $u_{1} = 3 {(2 r - 1)}^{2} + 6$ . Тогда $d u_{1} = (24 r - 12) d r$ , следовательно $\frac{1}{12} d u_{1} = (2 r - 1) d r$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{1} = 3 {(2 r - 1)}^{2} + 6$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d r}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $3 {(2 r - 1)}^{2} + 6$ .

$\frac{d}{d r} [3 {(2 r - 1)}^{2} + 6]$

Этап 1.1.2

Перепишем ${(2 r - 1)}^{2}$ в виде $(2 r - 1) (2 r - 1)$ .

$\frac{d}{d r} [3 ((2 r - 1) (2 r - 1)) + 6]$

Этап 1.1.3

Развернем $(2 r - 1) (2 r - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d r} [3 (2 r (2 r - 1) - 1 (2 r - 1)) + 6]$

Этап 1.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d r} [3 (2 r (2 r) + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r - 1)) + 6]$

Этап 1.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d r} [3 (2 r (2 r) + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

Этап 1.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d}{d r} [3 (2 \cdot 2 r \cdot r + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

Этап 1.1.4.1.2

Умножим $r$ на $r$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1.2.1

Перенесем $r$ .

$\frac{d}{d r} [3 (2 \cdot 2 (r \cdot r) + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

Этап 1.1.4.1.2.2

Умножим $r$ на $r$ .

$\frac{d}{d r} [3 (2 \cdot 2 r^{2} + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

Этап 1.1.4.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

Этап 1.1.4.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 2 r - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

Этап 1.1.4.1.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 2 r - 2 r - 1 \cdot - 1) + 6]$

Этап 1.1.4.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 2 r - 2 r + 1) + 6]$

Этап 1.1.4.2

Вычтем $2 r$ из $- 2 r$ .

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 4 r + 1) + 6]$

Этап 1.1.5

По правилу суммы производная $3 (4 r^{2} - 4 r + 1) + 6$ по $r$ имеет вид $\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 4 r + 1)] + \frac{d}{d r} [6]$ .

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 4 r + 1)] + \frac{d}{d r} [6]$

Этап 1.1.6

Найдем значение $\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 4 r + 1)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Поскольку $3$ является константой относительно $r$ , производная $3 (4 r^{2} - 4 r + 1)$ по $r$ равна $3 \frac{d}{d r} [4 r^{2} - 4 r + 1]$ .

$3 \frac{d}{d r} [4 r^{2} - 4 r + 1] + \frac{d}{d r} [6]$

Этап 1.1.6.2

По правилу суммы производная $4 r^{2} - 4 r + 1$ по $r$ имеет вид $\frac{d}{d r} [4 r^{2}] + \frac{d}{d r} [- 4 r] + \frac{d}{d r} [1]$ .

$3 (\frac{d}{d r} [4 r^{2}] + \frac{d}{d r} [- 4 r] + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

Этап 1.1.6.3

Поскольку $4$ является константой относительно $r$ , производная $4 r^{2}$ по $r$ равна $4 \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$3 (4 \frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [- 4 r] + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

Этап 1.1.6.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (4 (2 r) + \frac{d}{d r} [- 4 r] + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

Этап 1.1.6.5

Поскольку $- 4$ является константой относительно $r$ , производная $- 4 r$ по $r$ равна $- 4 \frac{d}{d r} [r]$ .

$3 (4 (2 r) - 4 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

Этап 1.1.6.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 (4 (2 r) - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

Этап 1.1.6.7

Поскольку $1$ является константой относительно $r$ , производная $1$ относительно $r$ равна $0$ .

$3 (4 (2 r) - 4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d r} [6]$

Этап 1.1.6.8

Умножим $2$ на $4$ .

$3 (8 r - 4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d r} [6]$

Этап 1.1.6.9

Умножим $- 4$ на $1$ .

$3 (8 r - 4 + 0) + \frac{d}{d r} [6]$

Этап 1.1.6.10

Добавим $8 r - 4$ и $0$ .

$3 (8 r - 4) + \frac{d}{d r} [6]$

Этап 1.1.7

Поскольку $6$ является константой относительно $r$ , производная $6$ относительно $r$ равна $0$ .

$3 (8 r - 4) + 0$

Этап 1.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (8 r) + 3 \cdot - 4 + 0$

Этап 1.1.8.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.2.1

Умножим $8$ на $3$ .

$24 r + 3 \cdot - 4 + 0$

Этап 1.1.8.2.2

Умножим $3$ на $- 4$ .

$24 r - 12 + 0$

Этап 1.1.8.2.3

Добавим $24 r - 12$ и $0$ .

$24 r - 12$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}} \cdot \frac{1}{12} d u_{1}$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}}$ на $\frac{1}{12}$ .

$\int \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}} \cdot 12} d u_{1}$

Этап 2.2

Перенесем $12$ влево от $\sqrt{u_{1}}$ .

$\int \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{12 \sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{12}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{12}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{12} \int \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

Этап 4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u_{1}}$ в виде ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{12} \int \frac{\cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

Этап 4.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u_{1}}$ в виде ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{12} \int \frac{\cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$

Этап 4.3

Вынесем ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{12} \int \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1}$

Этап 4.4

Перемножим экспоненты в ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{12} \int \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1}$

Этап 4.4.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{12} \int \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1}$

Этап 4.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{12} \int \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1}$

Этап 5

Пусть $u_{2} = {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ . Тогда $d u_{2} = \frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ , следовательно $- d u_{2} = \frac{- 1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u_{2} = {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 5.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1}$

Этап 5.1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Этап 5.1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 5.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 5.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1 - 2}{2}}$

Этап 5.1.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}}$

Этап 5.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$

Этап 5.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.8.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.1.8.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{12} \int 2 \cos (u_{2}) d u_{2}$

Этап 6

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{12} (2 \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{12}$ .

$\frac{2}{12} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Этап 7.2

Сократим общий множитель $2$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1)}{12} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Этап 7.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Этап 7.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Этап 7.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{6} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Этап 8

Интеграл $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ имеет вид $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{6} (\sin (u_{2}) + C)$

Этап 9

Упростим.

$\frac{1}{6} \sin (u_{2}) + C$

Этап 10

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{6} \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) + C$

Этап 10.2

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $3 {(2 r - 1)}^{2} + 6$ .

$\frac{1}{6} \sin ({(3 {(2 r - 1)}^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}) + C$