Математический анализ Примеры

$x = \frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (x) = \frac{d}{d y} (\frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}})$

Этап 2

Производная $x$ по $y$ равна $x'$ .

$x'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $\frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $\frac{1}{4}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{y^{4}}{4}$ по $y$ равна $\frac{1}{4} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Этап 3.2.3

Объединим $4$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} y^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Этап 3.2.4

Объединим $\frac{4}{4}$ и $y^{3}$ .

$\frac{4 y^{3}}{4} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Этап 3.2.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y^{3}}{4} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Этап 3.2.5.2

Разделим $y^{3}$ на $1$ .

$y^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $\frac{1}{8}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{1}{8 y^{2}}$ по $y$ равна $\frac{1}{8} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$

Этап 3.3.2

Перепишем $\frac{1}{y^{2}}$ в виде ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}]$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{- 1}$ и $g (y) = y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y^{2}$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Этап 3.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Этап 3.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $y^{2}$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y))$

Этап 3.3.5

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- y^{2 \cdot - 2} (2 y))$

Этап 3.3.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- y^{- 4} (2 y))$

Этап 3.3.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- 2 y^{- 4} y)$

Этап 3.3.7

Возведем $y$ в степень $1$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- 2 (y^{1} y^{- 4}))$

Этап 3.3.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y^{3} + \frac{1}{8} (- 2 y^{1 - 4})$

Этап 3.3.9

Вычтем $4$ из $1$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- 2 y^{- 3})$

Этап 3.3.10

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{8}$ .

$y^{3} + \frac{- 2}{8} y^{- 3}$

Этап 3.3.11

Объединим $\frac{- 2}{8}$ и $y^{- 3}$ .

$y^{3} + \frac{- 2 y^{- 3}}{8}$

Этап 3.3.12

Перенесем $y^{- 3}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y^{3} + \frac{- 2}{8 y^{3}}$

Этап 3.3.13

Сократим общий множитель $- 2$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.13.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$y^{3} + \frac{2 (- 1)}{8 y^{3}}$

Этап 3.3.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.13.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8 y^{3}$ .

$y^{3} + \frac{2 (- 1)}{2 (4 y^{3})}$

Этап 3.3.13.2.2

Сократим общий множитель.

$y^{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (4 y^{3})}$

Этап 3.3.13.2.3

Перепишем это выражение.

$y^{3} + \frac{- 1}{4 y^{3}}$

Этап 3.3.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{3} - \frac{1}{4 y^{3}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$x' = y^{3} - \frac{1}{4 y^{3}}$

Этап 5

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = y^{3} - \frac{1}{4 y^{3}}$