Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{3} - 7 x - 6}{x^{3} + 3 x^{2} + 2 x}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to - 1} x^{3} - 7 x - 6}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 3 x^{2} + 2 x}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} x^{3} - lim_{x \to - 1} 7 x - lim_{x \to - 1} 6}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 3 x^{2} + 2 x}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - lim_{x \to - 1} 7 x - lim_{x \to - 1} 6}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 3 x^{2} + 2 x}$

Этап 1.1.2.3

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 7 lim_{x \to - 1} x - lim_{x \to - 1} 6}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 3 x^{2} + 2 x}$

Этап 1.1.2.4

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 1$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 7 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 6}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 3 x^{2} + 2 x}$

Этап 1.1.2.5

Найдем значения пределов, подставив значение $- 1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{3} - 7 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 6}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 3 x^{2} + 2 x}$

Этап 1.1.2.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{3} - 7 \cdot - 1 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 3 x^{2} + 2 x}$

Этап 1.1.2.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{- 1 - 7 \cdot - 1 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 3 x^{2} + 2 x}$

Этап 1.1.2.6.1.2

Умножим $- 7$ на $- 1$ .

$\frac{- 1 + 7 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 3 x^{2} + 2 x}$

Этап 1.1.2.6.1.3

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{- 1 + 7 - 6}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 3 x^{2} + 2 x}$

Этап 1.1.2.6.2

Добавим $- 1$ и $7$ .

$\frac{6 - 6}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 3 x^{2} + 2 x}$

Этап 1.1.2.6.3

Вычтем $6$ из $6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 3 x^{2} + 2 x}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{3} + lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x}$

Этап 1.1.3.2

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x}$

Этап 1.1.3.3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + 3 lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x}$

Этап 1.1.3.4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + 3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x}$

Этап 1.1.3.5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + 3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x}$

Этап 1.1.3.6

Найдем значения пределов, подставив значение $- 1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{3} + 3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x}$

Этап 1.1.3.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x}$

Этап 1.1.3.6.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1}$

Этап 1.1.3.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.7.1.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{0}{- 1 + 3 {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1}$

Этап 1.1.3.7.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{0}{- 1 + 3 \cdot 1 + 2 \cdot - 1}$

Этап 1.1.3.7.1.3

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{0}{- 1 + 3 + 2 \cdot - 1}$

Этап 1.1.3.7.1.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{0}{- 1 + 3 - 2}$

Этап 1.1.3.7.2

Добавим $- 1$ и $3$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Этап 1.1.3.7.3

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.7.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.8

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{3} - 7 x - 6}{x^{3} + 3 x^{2} + 2 x} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 7 x - 6]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} + 2 x]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 7 x - 6]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} + 2 x]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $x^{3} - 7 x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} + 2 x]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} + 2 x]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} + 2 x]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} + 2 x]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $- 7$ на $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} - 7 + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} + 2 x]}$

Этап 1.3.5

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} - 7 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} + 2 x]}$

Этап 1.3.6

Добавим $3 x^{2} - 7$ и $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} - 7}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} + 2 x]}$

Этап 1.3.7

По правилу суммы производная $x^{3} + 3 x^{2} + 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} - 7}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Этап 1.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} - 7}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Этап 1.3.9

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.9.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} - 7}{3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Этап 1.3.9.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} - 7}{3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Этап 1.3.9.3

Умножим $2$ на $3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} - 7}{3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Этап 1.3.10

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.10.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} - 7}{3 x^{2} + 6 x + 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.10.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} - 7}{3 x^{2} + 6 x + 2 \cdot 1}$

Этап 1.3.10.3

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} - 7}{3 x^{2} + 6 x + 2}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} - 7}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + 6 x + 2}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} - lim_{x \to - 1} 7}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + 6 x + 2}$

Этап 2.3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to - 1} x^{2} - lim_{x \to - 1} 7}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + 6 x + 2}$

Этап 2.4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - lim_{x \to - 1} 7}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + 6 x + 2}$

Этап 2.5

Найдем предел $7$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 1$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 1 \cdot 7}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + 6 x + 2}$

Этап 2.6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 1 \cdot 7}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + lim_{x \to - 1} 6 x + lim_{x \to - 1} 2}$

Этап 2.7

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 1 \cdot 7}{3 lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 6 x + lim_{x \to - 1} 2}$

Этап 2.8

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 1 \cdot 7}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 6 x + lim_{x \to - 1} 2}$

Этап 2.9

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 1 \cdot 7}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 6 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 2}$

Этап 2.10

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 1$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 1 \cdot 7}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 6 lim_{x \to - 1} x + 2}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $- 1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{3 {(- 1)}^{2} - 1 \cdot 7}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 6 lim_{x \to - 1} x + 2}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{3 {(- 1)}^{2} - 1 \cdot 7}{3 {(- 1)}^{2} + 6 lim_{x \to - 1} x + 2}$

Этап 3.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{3 {(- 1)}^{2} - 1 \cdot 7}{3 {(- 1)}^{2} + 6 \cdot - 1 + 2}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{3 \cdot 1 - 1 \cdot 7}{3 {(- 1)}^{2} + 6 \cdot - 1 + 2}$

Этап 4.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{3 - 1 \cdot 7}{3 {(- 1)}^{2} + 6 \cdot - 1 + 2}$

Этап 4.1.3

Умножим $- 1$ на $7$ .

$\frac{3 - 7}{3 {(- 1)}^{2} + 6 \cdot - 1 + 2}$

Этап 4.1.4

Вычтем $7$ из $3$ .

$\frac{- 4}{3 {(- 1)}^{2} + 6 \cdot - 1 + 2}$

Этап 4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{- 4}{3 \cdot 1 + 6 \cdot - 1 + 2}$

Этап 4.2.2

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{- 4}{3 + 6 \cdot - 1 + 2}$

Этап 4.2.3

Умножим $6$ на $- 1$ .

$\frac{- 4}{3 - 6 + 2}$

Этап 4.2.4

Вычтем $6$ из $3$ .

$\frac{- 4}{- 3 + 2}$

Этап 4.2.5

Добавим $- 3$ и $2$ .

$\frac{- 4}{- 1}$

Этап 4.3

Разделим $- 4$ на $- 1$ .

$4$