Математический анализ Примеры

$x \cdot \sqrt{x^{2} + 1}$

Этап 1

Запишем $x \cdot \sqrt{x^{2} + 1}$ в виде функции.

$f (x) = x \cdot \sqrt{x^{2} + 1}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int x \cdot \sqrt{x^{2} + 1} d x$

Этап 4

Пусть $u = x^{2} + 1$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = x^{2} + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 4.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 4.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Этап 5

Объединим $\sqrt{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u$

Этап 7

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 8

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ в виде $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 9.2.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 9.2.3

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 9.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 9.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 9.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 11

Ответ ― первообразная функции $f (x) = x \cdot \sqrt{x^{2} + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$