Математический анализ Примеры

$\int (\frac{15}{x^{4}} + \frac{8}{x^{5}}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int \frac{15}{x^{4}} + \frac{8}{x^{5}} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{15}{x^{4}} d x + \int \frac{8}{x^{5}} d x$

Этап 3

Поскольку $15$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $15$ из-под знака интеграла.

$15 \int \frac{1}{x^{4}} d x + \int \frac{8}{x^{5}} d x$

Этап 4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем $x^{4}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$15 \int {(x^{4})}^{- 1} d x + \int \frac{8}{x^{5}} d x$

Этап 4.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$15 \int x^{4 \cdot - 1} d x + \int \frac{8}{x^{5}} d x$

Этап 4.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$15 \int x^{- 4} d x + \int \frac{8}{x^{5}} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{- 4}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$15 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \int \frac{8}{x^{5}} d x$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $x^{- 3}$ и $\frac{1}{3}$ .

$15 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C) + \int \frac{8}{x^{5}} d x$

Этап 6.2

Перенесем $x^{- 3}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$15 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + \int \frac{8}{x^{5}} d x$

Этап 7

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$15 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 8 \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Этап 8

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем $x^{5}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$15 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 8 \int {(x^{5})}^{- 1} d x$

Этап 8.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{5})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$15 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 8 \int x^{5 \cdot - 1} d x$

Этап 8.2.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$15 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 8 \int x^{- 5} d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{- 5}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$15 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 8 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Объединим $x^{- 4}$ и $\frac{1}{4}$ .

$15 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 8 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C)$

Этап 10.1.2

Перенесем $x^{- 4}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$15 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 8 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C)$

Этап 10.2

Упростим.

$\frac{- 5}{x^{3}} + 8 (- \frac{1}{4 x^{4}}) + C$

Этап 10.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5}{x^{3}} + 8 (- \frac{1}{4 x^{4}}) + C$

Этап 10.3.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

$- \frac{5}{x^{3}} - 8 \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Этап 10.3.3

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{4 x^{4}}$ .

$- \frac{5}{x^{3}} + \frac{- 8}{4 x^{4}} + C$

Этап 10.3.4

Сократим общий множитель $- 8$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.4.1

Вынесем множитель $4$ из $- 8$ .

$- \frac{5}{x^{3}} + \frac{4 \cdot - 2}{4 x^{4}} + C$

Этап 10.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{4}$ .

$- \frac{5}{x^{3}} + \frac{4 \cdot - 2}{4 (x^{4})} + C$

Этап 10.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{5}{x^{3}} + \frac{4 \cdot - 2}{4 x^{4}} + C$

Этап 10.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{5}{x^{3}} + \frac{- 2}{x^{4}} + C$

Этап 10.3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5}{x^{3}} - \frac{2}{x^{4}} + C$