Математический анализ Примеры

$\frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

Этап 1

Запишем $\frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$ в виде функции.

$f (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot (d x) d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $d$ и $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .

$\int \frac{d}{2 \sqrt{x}} \cdot x d x$

Этап 4.2

Объединим $\frac{d}{2 \sqrt{x}}$ и $x$ .

$\int \frac{d x}{2 \sqrt{x}} d x$

Этап 5

Поскольку $\frac{d}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{d}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{d}{2} \int \frac{x}{\sqrt{x}} d x$

Этап 6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{2} \int \frac{x}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d}{2} \int x \cdot x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 6.2.2

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d}{2} \int x^{1} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 6.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{2} \int x^{1 - \frac{1}{2}} d x$

Этап 6.2.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{d}{2} \int x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d x$

Этап 6.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d}{2} \int x^{\frac{2 - 1}{2}} d x$

Этап 6.2.2.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{d}{2} \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{2} (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C)$

Этап 8.2

Перепишем $\frac{d}{2} (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C)$ в виде $\frac{1}{2} d \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{2} d \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $d$ .

$\frac{d}{2} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 8.3.2

Умножим $\frac{d}{2}$ на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{d \cdot 2}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 8.3.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{d \cdot 2}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 8.3.4

Перенесем $2$ влево от $d$ .

$\frac{2 \cdot d}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 8.3.5

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 d$ .

$\frac{2 (d)}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 8.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 d}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 8.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 d}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 8.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 8.3.6

Объединим $\frac{d}{3}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

$\frac{1}{3} d x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 9

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot (d x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} d x^{\frac{3}{2}} + C$