Математический анализ Примеры

$y = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 3

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 4.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Этап 4.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Этап 4.2.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

Этап 4.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Этап 4.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 4.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 4.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Этап 4.7.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Этап 4.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Этап 4.9

Объединим $x^{- \frac{3}{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Этап 4.10

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{4}$

Этап 4.11.2

Перенесем $x^{- \frac{3}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$