Математический анализ Примеры

$\sqrt{1 + 4 x^{2}}$

Этап 1

Запишем $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ в виде функции.

$f (x) = \sqrt{1 + 4 x^{2}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \sqrt{1 + 4 x^{2}} d x$

Этап 4

Пусть $x = \frac{1}{2} \tan (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ положительно.

$\int \sqrt{1 + 4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим $\sqrt{1 + 4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\tan (t)$ .

$\int \sqrt{1 + 4 {(\frac{\tan (t)}{2})}^{2}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 5.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{\tan (t)}{2}$ .

$\int \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{2^{2}}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 5.1.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\int \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{4}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 5.1.1.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\int \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{4}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 5.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\int \sqrt{1 + \tan^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 5.1.2

Переставляем члены.

$\int \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 5.1.3

Применим формулу Пифагора.

$\int \sqrt{\sec^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 5.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int \sec (t) \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Объединим $\sec (t)$ и $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ .

$\int \frac{\sec (t) \sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 5.2.2

Умножим $\sec (t)$ на $\sec^{2} (t)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Умножим $\sec (t)$ на $\sec^{2} (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Возведем $\sec (t)$ в степень $1$ .

$\int \frac{\sec^{1} (t) \sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 5.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \frac{{\sec (t)}^{1 + 2}}{2} d t$

Этап 5.2.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\int \frac{\sec^{3} (t)}{2} d t$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \sec^{3} (t) d t$

Этап 7

Вынесем множитель $\sec (t)$ из $\sec^{3} (t)$ .

$\frac{1}{2} \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Этап 8

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \sec (t)$ и $d v = \sec^{2} (t)$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

Этап 9

Возведем $\tan (t)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

Этап 10

Возведем $\tan (t)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

Этап 11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Этап 12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

Этап 12.2

Изменим порядок $\tan^{2} (t)$ и $\sec (t)$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

Этап 13

Используя формулы Пифагора, запишем $\tan^{2} (t)$ в виде $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

Этап 14

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

Этап 14.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Этап 14.3

Изменим порядок $\sec (t)$ и $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Этап 15

Возведем $\sec (t)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

Этап 16

Возведем $\sec (t)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

Этап 17

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Этап 18

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

Этап 19

Возведем $\sec (t)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

Этап 20

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

Этап 21

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

Этап 22

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Этап 23

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Этап 24

Интеграл $\sec (t)$ по $t$ имеет вид $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

Этап 25

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Этап 25.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Этап 26

Найдя решение для $\int \sec^{3} (t) d t$ , получим $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

Этап 27

Умножим $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

Этап 28

Упростим.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Этап 29

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Этап 29.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{4} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Этап 30

Заменим все вхождения $t$ на $\arctan (2 x)$ .

$\frac{1}{4} (\sec (\arctan (2 x)) \tan (\arctan (2 x)) + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

Этап 31

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 31.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 31.1.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(1, 2 x)$ , $(1, 0)$ и начале координат. Тогда $\arctan (2 x)$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(1, 2 x)$ . Следовательно, $\sec (\arctan (2 x))$ равно $\sqrt{1 + {(2 x)}^{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\sqrt{1 + {(2 x)}^{2}} \tan (\arctan (2 x)) + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

Этап 31.1.2

Применим правило умножения к $2 x$ .

$\frac{1}{4} (\sqrt{1 + 2^{2} x^{2}} \tan (\arctan (2 x)) + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

Этап 31.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{1}{4} (\sqrt{1 + 4 x^{2}} \tan (\arctan (2 x)) + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

Этап 31.1.4

Тангенс и арктангенс — обратные функции.

$\frac{1}{4} (\sqrt{1 + 4 x^{2}} (2 x) + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

Этап 31.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

Этап 31.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 31.1.6.1

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + {(2 x)}^{2}} + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

Этап 31.1.6.2

Применим правило умножения к $2 x$ .

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 2^{2} x^{2}} + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

Этап 31.1.6.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

Этап 31.1.6.4

Тангенс и арктангенс — обратные функции.

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)) + C$

Этап 31.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x) + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

Этап 31.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 31.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x) + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

Этап 31.3.2

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 (\sqrt{1 + 4 x^{2}} x)) + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

Этап 31.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 (\sqrt{1 + 4 x^{2}} x)) + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

Этап 31.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (\sqrt{1 + 4 x^{2}} x) + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

Этап 31.4

Объединим $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2} x + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

Этап 31.5

Объединим $\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2}$ и $x$ .

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{2} + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

Этап 31.6

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)$ .

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{2} + \frac{\ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

Этап 31.7

Чтобы записать $\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

Этап 31.8

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 31.8.1

Умножим $\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{\ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

Этап 31.8.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x \cdot 2}{4} + \frac{\ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

Этап 31.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x \cdot 2 + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

Этап 31.10

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{1 + 4 x^{2}} x$ .

$\frac{2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

Этап 32

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)) + C$

Этап 33

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)) + C$