Математический анализ Примеры

$y = - 1 + 3 \cos (\frac{3}{2} x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $- 1 + 3 \cos (\frac{3}{2} x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [3 \cos (\frac{3}{2} x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [3 \cos (\frac{3}{2} x)]$

Этап 1.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 \cos (\frac{3}{2} x)]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 \cos (\frac{3}{2} x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 \cos (\frac{3 x}{2})]$

Этап 1.2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \cos (\frac{3 x}{2})$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{3 x}{2})]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{3 x}{2})]$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = \frac{3 x}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{3 x}{2}$ .

$0 + 3 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}])$

Этап 1.2.3.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$0 + 3 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}])$

Этап 1.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{3 x}{2}$ .

$0 + 3 (- \sin (\frac{3 x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}])$

Этап 1.2.4

Поскольку $\frac{3}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3 x}{2}$ по $x$ равна $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 3 (- \sin (\frac{3 x}{2}) (\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 3 (- \sin (\frac{3 x}{2}) (\frac{3}{2} \cdot 1))$

Этап 1.2.6

Умножим $\frac{3}{2}$ на $1$ .

$0 + 3 (- \sin (\frac{3 x}{2}) \frac{3}{2})$

Этап 1.2.7

Объединим $\frac{3}{2}$ и $\sin (\frac{3 x}{2})$ .

$0 + 3 (- \frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2})$

Этап 1.2.8

Умножим $- 1$ на $3$ .

$0 - 3 \frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$

Этап 1.2.9

Объединим $- 3$ и $\frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$ .

$0 + \frac{- 3 (3 \sin (\frac{3 x}{2}))}{2}$

Этап 1.2.10

Умножим $3$ на $- 3$ .

$0 + \frac{- 9 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$

Этап 1.2.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$0 - \frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$

Этап 1.3

Вычтем $\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$ из $0$ .

$- \frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- \frac{9}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$ по $x$ равна $- \frac{9}{2} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{3 x}{2})]$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot \frac{d}{d x} \sin (\frac{3 x}{2})$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{3 x}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{3 x}{2}))$

Этап 2.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (\cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{3 x}{2}))$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{3 x}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (\cos (\frac{3 x}{2}) \frac{d}{d x} (\frac{3 x}{2}))$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Объединим $\cos (\frac{3 x}{2})$ и $\frac{9}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\cos (\frac{3 x}{2}) \cdot 9}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{3 x}{2}$

Этап 2.3.2

Перенесем $9$ влево от $\cos (\frac{3 x}{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{9 \cdot \cos (\frac{3 x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{3 x}{2}$

Этап 2.3.3

Поскольку $\frac{3}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3 x}{2}$ по $x$ равна $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{9 \cos (\frac{3 x}{2})}{2} \cdot (\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.3.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{9 \cos (\frac{3 x}{2})}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (9 \cos (\frac{3 x}{2}))}{2 \cdot 2} \cdot \frac{d}{d x} x$

Этап 2.3.4.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1

Умножим $9$ на $3$ .

$f'' (x) = - \frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{2 \cdot 2} \cdot \frac{d}{d x} x$

Этап 2.3.4.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{4} \cdot \frac{d}{d x} x$

Этап 2.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{4} \cdot 1$

Этап 2.3.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{4}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- \frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{2} = 0$

Этап 4

Приравняем числитель к нулю.

$9 \sin (\frac{3 x}{2}) = 0$

Этап 5

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $9 \sin (\frac{3 x}{2}) = 0$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Разделим каждый член $9 \sin (\frac{3 x}{2}) = 0$ на $9$ .

$\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{9} = \frac{0}{9}$

Этап 5.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{9} = \frac{0}{9}$

Этап 5.1.2.1.2

Разделим $\sin (\frac{3 x}{2})$ на $1$ .

$\sin (\frac{3 x}{2}) = \frac{0}{9}$

Этап 5.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Разделим $0$ на $9$ .

$\sin (\frac{3 x}{2}) = 0$

Этап 5.2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$\frac{3 x}{2} = \arcsin (0)$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$\frac{3 x}{2} = 0$

Этап 5.4

Приравняем числитель к нулю.

$3 x = 0$

Этап 5.5

Разделим каждый член $3 x = 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разделим каждый член $3 x = 0$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 5.5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Этап 5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

$x = 0$

Этап 5.6

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$\frac{3 x}{2} = π - 0$

Этап 5.7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Умножим обе части уравнения на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} (π - 0)$

Этап 5.7.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1.1

Упростим $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} (π - 0)$

Этап 5.7.2.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Этап 5.7.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\frac{1}{3} (3 (x)) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Этап 5.7.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Этап 5.7.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{2}{3} (π - 0)$

Этап 5.7.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.1

Упростим $\frac{2}{3} (π - 0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.1.1

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = \frac{2}{3} π$

Этап 5.7.2.2.1.2

Объединим $\frac{2}{3}$ и $π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Этап 5.8

Решение уравнения $\frac{3 x}{2} = 0$ .

$x = 0, \frac{2 π}{3}$

Этап 6

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{27 \cos (\frac{3 (0)}{2})}{4}$

Этап 7

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вынесем множитель $2$ из $3 (0)$ .

$- \frac{27 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2})}{4}$

Этап 7.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{27 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 (1)})}{4}$

Этап 7.1.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{27 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 \cdot 1})}{4}$

Этап 7.1.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{27 \cos (\frac{3 \cdot (0)}{1})}{4}$

Этап 7.1.2.4

Разделим $3 \cdot (0)$ на $1$ .

$- \frac{27 \cos (3 \cdot (0))}{4}$

Этап 7.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $3$ на $0$ .

$- \frac{27 \cos (0)}{4}$

Этап 7.2.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- \frac{27 \cdot 1}{4}$

Этап 7.3

Умножим $27$ на $1$ .

$- \frac{27}{4}$

Этап 8

$x = 0$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный максимум

Этап 9

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = - 1 + 3 \cos (\frac{3}{2} \cdot (0))$

Этап 9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Умножим $\frac{3}{2}$ на $0$ .

$f (0) = - 1 + 3 \cos (0)$

Этап 9.2.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (0) = - 1 + 3 \cdot 1$

Этап 9.2.1.3

Умножим $3$ на $1$ .

$f (0) = - 1 + 3$

Этап 9.2.2

Добавим $- 1$ и $3$ .

$f (0) = 2$

Этап 9.2.3

Окончательный ответ: $2$ .

$y = 2$

Этап 10

Найдем вторую производную в $x = \frac{2 π}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{27 \cos (\frac{3 (\frac{2 π}{3})}{2})}{4}$

Этап 11

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим $3$ и $\frac{2 π}{3}$ .

$- \frac{27 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})}{4}$

Этап 11.2

Умножим $3$ на $2$ .

$- \frac{27 \cos (\frac{\frac{6 π}{3}}{2})}{4}$

Этап 11.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Сократим выражение $\frac{6 π}{3}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $6 π$ .

$- \frac{27 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})}{4}$

Этап 11.3.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- \frac{27 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 (1)}}{2})}{4}$

Этап 11.3.1.3

Сократим общий множитель.

$- \frac{27 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1}}{2})}{4}$

Этап 11.3.1.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{27 \cos (\frac{\frac{2 π}{1}}{2})}{4}$

Этап 11.3.2

Разделим $2 π$ на $1$ .

$- \frac{27 \cos (\frac{2 π}{2})}{4}$

Этап 11.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{27 \cos (\frac{2 π}{2})}{4}$

Этап 11.4.1.2

Разделим $π$ на $1$ .

$- \frac{27 \cos (π)}{4}$

Этап 11.4.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$- \frac{27 (- \cos (0))}{4}$

Этап 11.4.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- \frac{27 (- 1 \cdot 1)}{4}$

Этап 11.4.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{27 \cdot - 1}{4}$

Этап 11.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Умножим $27$ на $- 1$ .

$- \frac{- 27}{4}$

Этап 11.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{27}{4}$

Этап 11.6

Умножим $- - \frac{27}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{27}{4})$

Этап 11.6.2

Умножим $\frac{27}{4}$ на $1$ .

$\frac{27}{4}$

Этап 12

$x = \frac{2 π}{3}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{2 π}{3}$ — локальный минимум

Этап 13

Найдем значение y, если $x = \frac{2 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 \cos (\frac{3}{2} \cdot (\frac{2 π}{3}))$

Этап 13.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 \cos (\frac{3}{2} \cdot \frac{2 π}{3})$

Этап 13.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 π))$

Этап 13.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 (π)))$

Этап 13.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 π))$

Этап 13.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 \cos (π)$

Этап 13.2.1.3

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 (- \cos (0))$

Этап 13.2.1.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 (- 1 \cdot 1)$

Этап 13.2.1.5

Умножим $3 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.5.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 \cdot - 1$

Этап 13.2.1.5.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 - 3$

Этап 13.2.2

Вычтем $3$ из $- 1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 4$

Этап 13.2.3

Окончательный ответ: $- 4$ .

$y = - 4$

Этап 14

Это локальные экстремумы $f (x) = - 1 + 3 \cos (\frac{3}{2} x)$ .

$(0, 2)$ — локальный максимум

$(\frac{2 π}{3}, - 4)$ — локальный минимум

Этап 15