Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 12} \frac{12 - x}{4 x - 48}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 12} 12 - x}{lim_{x \to 12} 4 x - 48}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $12$ .

$\frac{lim_{x \to 12} 12 - lim_{x \to 12} x}{lim_{x \to 12} 4 x - 48}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $12$ , который является константой по мере приближения $x$ к $12$ .

$\frac{12 - lim_{x \to 12} x}{lim_{x \to 12} 4 x - 48}$

Этап 1.1.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $12$ для $x$ .

$\frac{12 - 12}{lim_{x \to 12} 4 x - 48}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $12$ из $12$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 12} 4 x - 48}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $12$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 12} 4 x - lim_{x \to 12} 48}$

Этап 1.1.3.1.2

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to 12} x - lim_{x \to 12} 48}$

Этап 1.1.3.1.3

Найдем предел $48$ , который является константой по мере приближения $x$ к $12$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to 12} x - 1 \cdot 48}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $12$ для $x$ .

$\frac{0}{4 \cdot 12 - 1 \cdot 48}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Умножим $4$ на $12$ .

$\frac{0}{48 - 1 \cdot 48}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $48$ .

$\frac{0}{48 - 48}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $48$ из $48$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 12} \frac{12 - x}{4 x - 48} = lim_{x \to 12} \frac{\frac{d}{d x} [12 - x]}{\frac{d}{d x} [4 x - 48]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 12} \frac{\frac{d}{d x} [12 - x]}{\frac{d}{d x} [4 x - 48]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $12 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 12} \frac{\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [4 x - 48]}$

Этап 1.3.3

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 12} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [4 x - 48]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 12} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 x - 48]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 12} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [4 x - 48]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to 12} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d x} [4 x - 48]}$

Этап 1.3.5

Вычтем $1$ из $0$ .

$lim_{x \to 12} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [4 x - 48]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $4 x - 48$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 48]$ .

$lim_{x \to 12} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 48]}$

Этап 1.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 12} \frac{- 1}{4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 48]}$

Этап 1.3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 12} \frac{- 1}{4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 48]}$

Этап 1.3.7.3

Умножим $4$ на $1$ .

$lim_{x \to 12} \frac{- 1}{4 + \frac{d}{d x} [- 48]}$

Этап 1.3.8

Поскольку $- 48$ является константой относительно $x$ , производная $- 48$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 12} \frac{- 1}{4 + 0}$

Этап 1.3.9

Добавим $4$ и $0$ .

$lim_{x \to 12} \frac{- 1}{4}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел $\frac{- 1}{4}$ , который является константой по мере приближения $x$ к $12$ .

$\frac{- 1}{4}$

Этап 2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{4}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{4}$

Десятичная форма:

$- 0.25$