Математический анализ Примеры

$\int 9 x^{2} \sqrt{x^{3} - 1} d x$

Этап 1

Поскольку $9$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$9 \int x^{2} \sqrt{x^{3} - 1} d x$

Этап 2

Пусть $u = x^{3} - 1$ . Тогда $d u = 3 x^{2} d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = x^{3} - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $x^{3} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $x^{3} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Этап 2.1.5

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$3 x^{2}$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$9 \int \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Этап 3

Объединим $\sqrt{u}$ и $\frac{1}{3}$ .

$9 \int \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$9 (\frac{1}{3} \int \sqrt{u} d u)$

Этап 5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $9$ .

$\frac{9}{3} \int \sqrt{u} d u$

Этап 5.1.2

Сократим общий множитель $9$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3} \int \sqrt{u} d u$

Этап 5.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 (1)} \int \sqrt{u} d u$

Этап 5.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} \int \sqrt{u} d u$

Этап 5.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{1} \int \sqrt{u} d u$

Этап 5.1.2.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$3 \int \sqrt{u} d u$

Этап 5.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ в виде $3 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$3 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $3$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 7.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 7.2.3

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 7.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 7.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 7.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{1} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 7.2.3.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$2 u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3} - 1$ .

$2 {(x^{3} - 1)}^{\frac{3}{2}} + C$