Математический анализ Примеры

$\int \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} d x$

Этап 1

Поскольку $\frac{2}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{2}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Этап 2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Этап 2.2

Вынесем $x^{\frac{1}{3}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{2}{3} \int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Этап 2.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \int x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

Этап 2.3.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 1$ .

$\frac{2}{3} \int x^{\frac{- 1}{3}} d x$

Этап 2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2}{3} \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C)$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C)$ в виде $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{3}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 4.2.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{6}{3 \cdot 2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 4.2.3

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6}{6} x^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 4.2.4

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6}{6} x^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 4.2.4.2

Перепишем это выражение.

$1 x^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 4.2.5

Умножим $x^{\frac{2}{3}}$ на $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} + C$