Математический анализ Примеры

${(x y)}^{x} = e$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} ({(x y)}^{x}) = \frac{d}{d y} (e)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя обобщенное правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ имеет вид $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ , где $f = x y$ и $g = x$ .

$\frac{d}{d y} [x y] (x {(x y)}^{x - 1}) + \frac{d}{d y} [x] ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = x$ и $g (y) = y$ .

$(x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]) (x {(x y)}^{x - 1}) + \frac{d}{d y} [x] ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]) x {(x y)}^{x - 1} + \frac{d}{d y} [x] ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

Этап 2.3.2

Умножим $x$ на $1$ .

$(x + y \frac{d}{d y} [x]) x {(x y)}^{x - 1} + \frac{d}{d y} [x] ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

Этап 2.4

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$(x + y x') x {(x y)}^{x - 1} + \frac{d}{d y} [x] ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

Этап 2.5

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$(x + y x') x {(x y)}^{x - 1} + x' ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим правило умножения к $x y$ .

$(x + y x') x (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

Этап 2.6.2

Применим правило умножения к $x y$ .

$(x + y x') x (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

Этап 2.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x \cdot x + y x' x) (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

Этап 2.6.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(x^{1} x + y x' x) (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

Этап 2.6.4.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(x^{1} x^{1} + y x' x) (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

Этап 2.6.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x^{1 + 1} + y x' x) (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

Этап 2.6.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$(x^{2} + y x' x) x^{x - 1} y^{x - 1} + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

Этап 2.6.5

Изменим порядок членов.

$x^{x - 1} y^{x - 1} (x^{2} + y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x'$

Этап 3

Поскольку $e$ является константой относительно $y$ , производная $e$ относительно $y$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$x^{x - 1} y^{x - 1} (x^{2} + y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим $x^{x - 1} y^{x - 1} (x^{2} + y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{x - 1} y^{x - 1} x^{2} + x^{x - 1} y^{x - 1} (y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Этап 5.1.1.2

Умножим $x^{x - 1}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$x^{2} x^{x - 1} y^{x - 1} + x^{x - 1} y^{x - 1} (y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Этап 5.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2 + x - 1} y^{x - 1} + x^{x - 1} y^{x - 1} (y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Этап 5.1.1.2.3

Вычтем $1$ из $2$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x - 1} y^{x - 1} (y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Этап 5.1.1.3

Умножим $x^{x - 1}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.3.1

Перенесем $x$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x \cdot x^{x - 1} y^{x - 1} (y x') + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Этап 5.1.1.3.2

Умножим $x$ на $x^{x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{1} x^{x - 1} y^{x - 1} (y x') + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Этап 5.1.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{1 + x - 1} y^{x - 1} (y x') + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Этап 5.1.1.3.3

Объединим противоположные члены в $1 + x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.3.3.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x + 0} y^{x - 1} (y x') + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Этап 5.1.1.3.3.2

Добавим $x$ и $0$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} y^{x - 1} (y x') + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Этап 5.1.1.4

Умножим $y^{x - 1}$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.4.1

Перенесем $y$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} (y \cdot y^{x - 1}) x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Этап 5.1.1.4.2

Умножим $y$ на $y^{x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.4.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} (y^{1} y^{x - 1}) x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Этап 5.1.1.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} y^{1 + x - 1} x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Этап 5.1.1.4.3

Объединим противоположные члены в $1 + x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.4.3.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} y^{x + 0} x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Этап 5.1.1.4.3.2

Добавим $x$ и $0$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} y^{x} x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Этап 5.1.2

Изменим порядок множителей в $x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} y^{x} x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x'$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x' x^{x} y^{x} + x' x^{x} y^{x} \ln (x y) = 0$

Этап 5.2

Вычтем $x^{x + 1} y^{x - 1}$ из обеих частей уравнения.

$x' x^{x} y^{x} + x' x^{x} y^{x} \ln (x y) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$

Этап 5.3

Вынесем множитель $x' x^{x} y^{x}$ из $x' x^{x} y^{x} + x' x^{x} y^{x} \ln (x y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $x' x^{x} y^{x}$ из $x' x^{x} y^{x}$ .

$x' x^{x} y^{x} \cdot 1 + x' x^{x} y^{x} \ln (x y) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $x' x^{x} y^{x}$ из $x' x^{x} y^{x} \ln (x y)$ .

$x' x^{x} y^{x} \cdot 1 + x' x^{x} y^{x} \ln (x y) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $x' x^{x} y^{x}$ из $x' x^{x} y^{x} \cdot 1 + x' x^{x} y^{x} \ln (x y)$ .

$x' x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y)) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$

Этап 5.4

Разделим каждый член $x' x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y)) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$ на $x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $x' x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y)) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$ на $x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))$ .

$\frac{x' x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $x^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Этап 5.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x' y^{x} (1 + \ln (x y))}{y^{x} (1 + \ln (x y))} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Этап 5.4.2.2

Сократим общий множитель $y^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' y^{x} (1 + \ln (x y))}{y^{x} (1 + \ln (x y))} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Этап 5.4.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x' (1 + \ln (x y))}{1 + \ln (x y)} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Этап 5.4.2.3

Сократим общий множитель $1 + \ln (x y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' (1 + \ln (x y))}{1 + \ln (x y)} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Этап 5.4.2.3.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Сократим общий множитель $x^{x + 1}$ и $x^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1

Вынесем множитель $x^{x}$ из $- x^{x + 1} y^{x - 1}$ .

$x' = \frac{x^{x} (- x y^{x - 1})}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Этап 5.4.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.2.1

Вынесем множитель $x^{x}$ из $x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))$ .

$x' = \frac{x^{x} (- x y^{x - 1})}{x^{x} (y^{x} (1 + \ln (x y)))}$

Этап 5.4.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x' = \frac{x^{x} (- x y^{x - 1})}{x^{x} (y^{x} (1 + \ln (x y)))}$

Этап 5.4.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x' = \frac{- x y^{x - 1}}{y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Этап 5.4.3.2

Сократим общий множитель $y^{x - 1}$ и $y^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.1

Вынесем множитель $y^{x}$ из $- x y^{x - 1}$ .

$x' = \frac{y^{x} (- x y^{- 1})}{y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Этап 5.4.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$x' = \frac{y^{x} (- x y^{- 1})}{y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Этап 5.4.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$x' = \frac{- x y^{- 1}}{1 + \ln (x y)}$

Этап 5.4.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.1

Перенесем $y^{- 1}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x' = \frac{- x}{(1 + \ln (x y)) y}$

Этап 5.4.3.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = - \frac{x}{(1 + \ln (x y)) y}$

Этап 5.4.3.3.3

Изменим порядок множителей в $- \frac{x}{(1 + \ln (x y)) y}$ .

$x' = - \frac{x}{y (1 + \ln (x y))}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{y (1 + \ln (x y))}$