Математический анализ Примеры

$\ln (| 1 - x |)$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = | 1 - x |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $| 1 - x |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| 1 - x |]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| 1 - x |]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $| 1 - x |$ .

$\frac{1}{| 1 - x |} \frac{d}{d x} [| 1 - x |]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $1 - x$ .

$\frac{1}{| 1 - x |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [1 - x])$

Этап 2.2

Производная $| u_{2} |$ по $u_{2}$ равна $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| 1 - x |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 - x$ .

$\frac{1}{| 1 - x |} (\frac{1 - x}{| 1 - x |} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Этап 3

Умножим $\frac{1 - x}{| 1 - x |}$ на $\frac{1}{| 1 - x |}$ .

$\frac{1 - x}{| 1 - x | | 1 - x |} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Этап 4

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$\frac{1 - x}{| (1 - x) (1 - x) |} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Этап 5

Возведем $1 - x$ в степень $1$ .

$\frac{1 - x}{| {(1 - x)}^{1} (1 - x) |} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Этап 6

Возведем $1 - x$ в степень $1$ .

$\frac{1 - x}{| {(1 - x)}^{1} {(1 - x)}^{1} |} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Этап 7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1 - x}{| {(1 - x)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Этап 8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1 - x}{| {(1 - x)}^{2} |} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Этап 9

По правилу суммы производная $1 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1 - x}{| {(1 - x)}^{2} |} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 10

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1 - x}{| {(1 - x)}^{2} |} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 11

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1 - x}{| {(1 - x)}^{2} |} \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 12

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 - x}{| {(1 - x)}^{2} |} (- \frac{d}{d x} [x])$

Этап 13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1 - x}{| {(1 - x)}^{2} |} (- 1 \cdot 1)$

Этап 14

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - x}{| {(1 - x)}^{2} |} \cdot - 1$

Этап 14.2

Объединим $\frac{1 - x}{| {(1 - x)}^{2} |}$ и $- 1$ .

$\frac{(1 - x) \cdot - 1}{| {(1 - x)}^{2} |}$

Этап 14.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Перенесем $- 1$ влево от $1 - x$ .

$\frac{- 1 \cdot (1 - x)}{| {(1 - x)}^{2} |}$

Этап 14.3.2

Перепишем $- 1 (1 - x)$ в виде $- (1 - x)$ .

$\frac{- (1 - x)}{| {(1 - x)}^{2} |}$

Этап 14.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1 - x}{| {(1 - x)}^{2} |}$