Математический анализ Примеры

$y = {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{3} (x)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{3} (x))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = {(2 x^{3} + 2)}^{4}$ и $g (x) = \cos^{3} (x)$ .

${(2 x^{3} + 2)}^{4} \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)] + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} + 2)}^{4}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\cos (x)$ .

${(2 x^{3} + 2)}^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} + 2)}^{4}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

${(2 x^{3} + 2)}^{4} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} + 2)}^{4}]$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\cos (x)$ .

${(2 x^{3} + 2)}^{4} (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} + 2)}^{4}]$

Этап 3.3

Перенесем $3$ влево от ${(2 x^{3} + 2)}^{4}$ .

$3 \cdot {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} + 2)}^{4}]$

Этап 3.4

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} + 2)}^{4}]$

Этап 3.5

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} + 2)}^{4}]$

Этап 3.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x^{3} + 2$ .

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 2])$

Этап 3.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 2])$

Этап 3.6.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x^{3} + 2$ .

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) (4 {(2 x^{3} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 2])$

Этап 3.7

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

По правилу суммы производная $2 x^{3} + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) (4 {(2 x^{3} + 2)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]))$

Этап 3.7.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) (4 {(2 x^{3} + 2)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]))$

Этап 3.7.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) (4 {(2 x^{3} + 2)}^{3} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2]))$

Этап 3.7.4

Умножим $3$ на $2$ .

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) (4 {(2 x^{3} + 2)}^{3} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [2]))$

Этап 3.7.5

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) (4 {(2 x^{3} + 2)}^{3} (6 x^{2} + 0))$

Этап 3.7.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.6.1

Добавим $6 x^{2}$ и $0$ .

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) (4 {(2 x^{3} + 2)}^{3} (6 x^{2}))$

Этап 3.7.6.2

Умножим $6$ на $4$ .

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) (24 {(2 x^{3} + 2)}^{3} x^{2})$

Этап 3.7.6.3

Изменим порядок членов.

$- 3 \cos^{2} (x) {(2 x^{3} + 2)}^{4} \sin (x) + 24 x^{2} \cos^{3} (x) {(2 x^{3} + 2)}^{3}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - 3 \cos^{2} (x) {(2 x^{3} + 2)}^{4} \sin (x) + 24 x^{2} \cos^{3} (x) {(2 x^{3} + 2)}^{3}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 3 \cos^{2} (x) {(2 x^{3} + 2)}^{4} \sin (x) + 24 x^{2} \cos^{3} (x) {(2 x^{3} + 2)}^{3}$