Математический анализ Примеры

$x^{\frac{1}{3}} + x \sqrt{x} - 2$

Этап 1

Запишем $x^{\frac{1}{3}} + x \sqrt{x} - 2$ в виде функции.

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} + x \sqrt{x} - 2$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int x^{\frac{1}{3}} + x \sqrt{x} - 2 d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{1}{3}} + x \cdot x^{\frac{1}{2}} - 2 d x$

Этап 4.2

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int x^{\frac{1}{3}} + x^{1} x^{\frac{1}{2}} - 2 d x$

Этап 4.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{\frac{1}{3}} + x^{1 + \frac{1}{2}} - 2 d x$

Этап 4.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 2 d x$

Этап 4.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2 + 1}{2}} - 2 d x$

Этап 4.2.4

Добавим $2$ и $1$ .

$\int x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{3}{2}} - 2 d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{\frac{1}{3}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 2 d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 2 d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{\frac{3}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int - 2 d x$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 2 x + C$

Этап 9

Упростим.

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 2 x + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = x^{\frac{1}{3}} + x \sqrt{x} - 2$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 2 x + C$