Математический анализ Примеры

$g (x) = \frac{x^{2} + 3 x - 5}{x^{4}}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $G (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $g (x)$ .

$G (x) = \int g (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$G (x) = \int \frac{x^{2} + 3 x - 5}{x^{4}} d x$

Этап 3

Вынесем $x^{4}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (x^{2} + 3 x - 5) {(x^{4})}^{- 1} d x$

Этап 4

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{2} + 3 x - 5) x^{4 \cdot - 1} d x$

Этап 4.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\int (x^{2} + 3 x - 5) x^{- 4} d x$

Этап 5

Развернем $(x^{2} + 3 x - 5) x^{- 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (x^{2} + 3 x) x^{- 4} - 5 x^{- 4} d x$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x^{2} x^{- 4} + 3 x \cdot x^{- 4} - 5 x^{- 4} d x$

Этап 5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{2 - 4} + 3 x \cdot x^{- 4} - 5 x^{- 4} d x$

Этап 5.4

Вычтем $4$ из $2$ .

$\int x^{- 2} + 3 x \cdot x^{- 4} - 5 x^{- 4} d x$

Этап 5.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int x^{- 2} + 3 (x^{1} x^{- 4}) - 5 x^{- 4} d x$

Этап 5.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{- 2} + 3 x^{1 - 4} - 5 x^{- 4} d x$

Этап 5.7

Вычтем $4$ из $1$ .

$\int x^{- 2} + 3 x^{- 3} - 5 x^{- 4} d x$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{- 2} d x + \int 3 x^{- 3} d x + \int - 5 x^{- 4} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1} + C + \int 3 x^{- 3} d x + \int - 5 x^{- 4} d x$

Этап 8

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$- x^{- 1} + C + 3 \int x^{- 3} d x + \int - 5 x^{- 4} d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - 5 x^{- 4} d x$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $x^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - 5 x^{- 4} d x$

Этап 10.2

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - 5 x^{- 4} d x$

Этап 11

Поскольку $- 5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 5$ из-под знака интеграла.

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 5 \int x^{- 4} d x$

Этап 12

По правилу степени интеграл $x^{- 4}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 5 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Объединим $x^{- 3}$ и $\frac{1}{3}$ .

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 5 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C)$

Этап 13.1.2

Перенесем $x^{- 3}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 5 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C)$

Этап 13.2

Упростим.

$- \frac{1}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} - 5 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C$

Этап 13.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$- \frac{1}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} + 5 \frac{1}{3 x^{3}} + C$

Этап 13.3.2

Объединим $5$ и $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$- \frac{1}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{5}{3 x^{3}} + C$

Этап 14

Ответ ― первообразная функции $g (x) = \frac{x^{2} + 3 x - 5}{x^{4}}$ .

$G (x) =$ $- \frac{1}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{5}{3 x^{3}} + C$