Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{2}{5} x^{5} + 5 x^{4} + 16 x^{3} - 15$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\frac{2}{5} x^{5} + 5 x^{4} + 16 x^{3} - 15$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{2}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{2}{5} x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $\frac{2}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{5} x^{5}$ по $x$ равна $\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{2}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 1.2.3

Объединим $5$ и $\frac{2}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 1.2.4

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{10}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 1.2.5

Объединим $\frac{10}{5}$ и $x^{4}$ .

$\frac{10 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 1.2.6

Сократим общий множитель $10$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Вынесем множитель $5$ из $10 x^{4}$ .

$\frac{5 (2 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 1.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\frac{5 (2 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 1.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (2 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 1.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 1.2.6.2.4

Разделим $2 x^{4}$ на $1$ .

$2 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{4}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$2 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 1.3.3

Умножим $4$ на $5$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16 x^{3}$ по $x$ равна $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 1.4.3

Умножим $3$ на $16$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $- 15$ является константой относительно $x$ , производная $- 15$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} + 0$

Этап 1.5.2

Добавим $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ и $0$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{4}) + \frac{d}{d x} (20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{4}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f'' (x) = 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

Этап 2.2.3

Умножим $4$ на $2$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} + \frac{d}{d x} (20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $20$ является константой относительно $x$ , производная $20 x^{3}$ по $x$ равна $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} + 20 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} + 20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

Этап 2.3.3

Умножим $3$ на $20$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} + 60 x^{2} + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $48$ является константой относительно $x$ , производная $48 x^{2}$ по $x$ равна $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} + 60 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} + 60 x^{2} + 48 (2 x)$

Этап 2.4.3

Умножим $2$ на $48$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} + 60 x^{2} + 96 x$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{2}{5} x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{2}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 4.1.2.3

Объединим $5$ и $\frac{2}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 4.1.2.4

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{10}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 4.1.2.5

Объединим $\frac{10}{5}$ и $x^{4}$ .

$\frac{10 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 4.1.2.6

Сократим общий множитель $10$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.1

Вынесем множитель $5$ из $10 x^{4}$ .

$\frac{5 (2 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 4.1.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\frac{5 (2 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 4.1.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (2 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 4.1.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 4.1.2.6.2.4

Разделим $2 x^{4}$ на $1$ .

$2 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{4}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$2 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $4$ на $5$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 4.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16 x^{3}$ по $x$ равна $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 4.1.4.3

Умножим $3$ на $16$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 4.1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Поскольку $- 15$ является константой относительно $x$ , производная $- 15$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} + 0$

Этап 4.1.5.2

Добавим $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ и $0$ .

$f' (x) = 2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $2 x^{2}$ из $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $2 x^{2}$ из $2 x^{4}$ .

$2 x^{2} (x^{2}) + 20 x^{3} + 48 x^{2} = 0$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель $2 x^{2}$ из $20 x^{3}$ .

$2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (10 x) + 48 x^{2} = 0$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель $2 x^{2}$ из $48 x^{2}$ .

$2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (10 x) + 2 x^{2} (24) = 0$

Этап 5.2.1.4

Вынесем множитель $2 x^{2}$ из $2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (10 x)$ .

$2 x^{2} (x^{2} + 10 x) + 2 x^{2} (24) = 0$

Этап 5.2.1.5

Вынесем множитель $2 x^{2}$ из $2 x^{2} (x^{2} + 10 x) + 2 x^{2} (24)$ .

$2 x^{2} (x^{2} + 10 x + 24) = 0$

Этап 5.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разложим $x^{2} + 10 x + 24$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $24$ , а сумма — $10$ .

$4, 6$

Этап 5.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$2 x^{2} ((x + 4) (x + 6)) = 0$

Этап 5.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 x^{2} (x + 4) (x + 6) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 4 = 0$

$x + 6 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 5.4.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 5.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 5.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 5.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 5.5

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 5.5.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 5.6

Приравняем $x + 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Приравняем $x + 6$ к $0$ .

$x + 6 = 0$

Этап 5.6.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x = - 6$

Этап 5.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 x^{2} (x + 4) (x + 6) = 0$ верно.

$x = 0, - 4, - 6$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, - 4, - 6$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$8 {(0)}^{3} + 60 {(0)}^{2} + 96 (0)$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$8 \cdot 0 + 60 {(0)}^{2} + 96 (0)$

Этап 9.1.2

Умножим $8$ на $0$ .

$0 + 60 {(0)}^{2} + 96 (0)$

Этап 9.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 60 \cdot 0 + 96 (0)$

Этап 9.1.4

Умножим $60$ на $0$ .

$0 + 0 + 96 (0)$

Этап 9.1.5

Умножим $96$ на $0$ .

$0 + 0 + 0$

Этап 9.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 0$

Этап 9.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 10

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 10.2

Подставим любое число такое, что $- 8$ , из интервала $(- \infty, - 6)$ в первую производную $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 8$ .

$f' (- 8) = 2 {(- 8)}^{4} + 20 {(- 8)}^{3} + 48 {(- 8)}^{2}$

Этап 10.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.1

Возведем $- 8$ в степень $4$ .

$f' (- 8) = 2 \cdot 4096 + 20 {(- 8)}^{3} + 48 {(- 8)}^{2}$

Этап 10.2.2.1.2

Умножим $2$ на $4096$ .

$f' (- 8) = 8192 + 20 {(- 8)}^{3} + 48 {(- 8)}^{2}$

Этап 10.2.2.1.3

Возведем $- 8$ в степень $3$ .

$f' (- 8) = 8192 + 20 \cdot - 512 + 48 {(- 8)}^{2}$

Этап 10.2.2.1.4

Умножим $20$ на $- 512$ .

$f' (- 8) = 8192 - 10240 + 48 {(- 8)}^{2}$

Этап 10.2.2.1.5

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$f' (- 8) = 8192 - 10240 + 48 \cdot 64$

Этап 10.2.2.1.6

Умножим $48$ на $64$ .

$f' (- 8) = 8192 - 10240 + 3072$

Этап 10.2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Вычтем $10240$ из $8192$ .

$f' (- 8) = - 2048 + 3072$

Этап 10.2.2.2.2

Добавим $- 2048$ и $3072$ .

$f' (- 8) = 1024$

Этап 10.2.2.3

Окончательный ответ: $1024$ .

$1024$

Этап 10.3

Подставим любое число такое, что $- 5$ , из интервала $(- 6, - 4)$ в первую производную $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 5$ .

$f' (- 5) = 2 {(- 5)}^{4} + 20 {(- 5)}^{3} + 48 {(- 5)}^{2}$

Этап 10.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1.1

Возведем $- 5$ в степень $4$ .

$f' (- 5) = 2 \cdot 625 + 20 {(- 5)}^{3} + 48 {(- 5)}^{2}$

Этап 10.3.2.1.2

Умножим $2$ на $625$ .

$f' (- 5) = 1250 + 20 {(- 5)}^{3} + 48 {(- 5)}^{2}$

Этап 10.3.2.1.3

Возведем $- 5$ в степень $3$ .

$f' (- 5) = 1250 + 20 \cdot - 125 + 48 {(- 5)}^{2}$

Этап 10.3.2.1.4

Умножим $20$ на $- 125$ .

$f' (- 5) = 1250 - 2500 + 48 {(- 5)}^{2}$

Этап 10.3.2.1.5

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$f' (- 5) = 1250 - 2500 + 48 \cdot 25$

Этап 10.3.2.1.6

Умножим $48$ на $25$ .

$f' (- 5) = 1250 - 2500 + 1200$

Этап 10.3.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.2.1

Вычтем $2500$ из $1250$ .

$f' (- 5) = - 1250 + 1200$

Этап 10.3.2.2.2

Добавим $- 1250$ и $1200$ .

$f' (- 5) = - 50$

Этап 10.3.2.3

Окончательный ответ: $- 50$ .

$- 50$

Этап 10.4

Подставим любое число такое, что $- 2$ , из интервала $(- 4, 0)$ в первую производную $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = 2 {(- 2)}^{4} + 20 {(- 2)}^{3} + 48 {(- 2)}^{2}$

Этап 10.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$f' (- 2) = 2 \cdot 16 + 20 {(- 2)}^{3} + 48 {(- 2)}^{2}$

Этап 10.4.2.1.2

Умножим $2$ на $16$ .

$f' (- 2) = 32 + 20 {(- 2)}^{3} + 48 {(- 2)}^{2}$

Этап 10.4.2.1.3

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f' (- 2) = 32 + 20 \cdot - 8 + 48 {(- 2)}^{2}$

Этап 10.4.2.1.4

Умножим $20$ на $- 8$ .

$f' (- 2) = 32 - 160 + 48 {(- 2)}^{2}$

Этап 10.4.2.1.5

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f' (- 2) = 32 - 160 + 48 \cdot 4$

Этап 10.4.2.1.6

Умножим $48$ на $4$ .

$f' (- 2) = 32 - 160 + 192$

Этап 10.4.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.2.1

Вычтем $160$ из $32$ .

$f' (- 2) = - 128 + 192$

Этап 10.4.2.2.2

Добавим $- 128$ и $192$ .

$f' (- 2) = 64$

Этап 10.4.2.3

Окончательный ответ: $64$ .

$64$

Этап 10.5

Подставим любое число такое, что $2$ , из интервала $(0, \infty)$ в первую производную $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = 2 {(2)}^{4} + 20 {(2)}^{3} + 48 {(2)}^{2}$

Этап 10.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1.1

Умножим $2$ на ${(2)}^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1.1.1

Умножим $2$ на ${(2)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1.1.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$f' (2) = 2 {(2)}^{4} + 20 {(2)}^{3} + 48 {(2)}^{2}$

Этап 10.5.2.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (2) = 2^{1 + 4} + 20 {(2)}^{3} + 48 {(2)}^{2}$

Этап 10.5.2.1.1.2

Добавим $1$ и $4$ .

$f' (2) = 2^{5} + 20 {(2)}^{3} + 48 {(2)}^{2}$

Этап 10.5.2.1.2

Возведем $2$ в степень $5$ .

$f' (2) = 32 + 20 {(2)}^{3} + 48 {(2)}^{2}$

Этап 10.5.2.1.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f' (2) = 32 + 20 \cdot 8 + 48 {(2)}^{2}$

Этап 10.5.2.1.4

Умножим $20$ на $8$ .

$f' (2) = 32 + 160 + 48 {(2)}^{2}$

Этап 10.5.2.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (2) = 32 + 160 + 48 \cdot 4$

Этап 10.5.2.1.6

Умножим $48$ на $4$ .

$f' (2) = 32 + 160 + 192$

Этап 10.5.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.2.1

Добавим $32$ и $160$ .

$f' (2) = 192 + 192$

Этап 10.5.2.2.2

Добавим $192$ и $192$ .

$f' (2) = 384$

Этап 10.5.2.3

Окончательный ответ: $384$ .

$384$

Этап 10.6

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = - 6$ , $x = - 6$ — локальный максимум.

$x = - 6$ — локальный максимум

Этап 10.7

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = - 4$ , $x = - 4$ — локальный минимум.

$x = - 4$ — локальный минимум

Этап 10.8

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = 0$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 10.9

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{2}{5} x^{5} + 5 x^{4} + 16 x^{3} - 15$ .

$x = - 6$ — локальный максимум

$x = - 4$ — локальный минимум

$x = - 6$ — локальный максимум

$x = - 4$ — локальный минимум

Этап 11