Математический анализ Примеры

${(x^{2} + 1)}^{2 x}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить дифференцирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(x^{2} + 1)}^{2 x}$ в виде $e^{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2 x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2 x})}]$

Этап 1.2

Развернем $\ln ({(x^{2} + 1)}^{2 x})$ , вынося $2 x$ из логарифма.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x \ln (x^{2} + 1)}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 2 x \ln (x^{2} + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x \ln (x^{2} + 1)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x \ln (x^{2} + 1)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x \ln (x^{2} + 1)]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x \ln (x^{2} + 1)$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} \frac{d}{d x} [2 x \ln (x^{2} + 1)]$

Этап 3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x \ln (x^{2} + 1)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x^{2} + 1)]$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 \frac{d}{d x} [x \ln (x^{2} + 1)])$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \ln (x^{2} + 1)$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (x \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)] + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{2} + 1$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 5.2

Производная $\ln (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{2} + 1$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (x (\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{x^{2} + 1}$ и $x$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{x}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 6.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{x}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 6.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{x}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 6.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{x}{x^{2} + 1} (2 x + 0) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 6.5

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{x}{x^{2} + 1} (2 x) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 6.5.2

Объединим $2$ и $\frac{x}{x^{2} + 1}$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{2 x}{x^{2} + 1} x + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 6.5.3

Объединим $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ и $x$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{2 x \cdot x}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{2 (x^{1} x)}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 8

Возведем $x$ в степень $1$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{2 (x^{1} x^{1})}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{2 x^{1 + 1}}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 10

Добавим $1$ и $1$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) \cdot 1))$

Этап 12

Умножим $\ln (x^{2} + 1)$ на $1$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1)))$

Этап 13

Чтобы записать $\ln (x^{2} + 1)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{\ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}))$

Этап 14

Объединим числители над общим знаменателем.

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 \frac{2 x^{2} + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1})$

Этап 15

Объединим $2$ и $\frac{2 x^{2} + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} \frac{2 (2 x^{2} + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 16

Объединим $e^{2 x \ln (x^{2} + 1)}$ и $\frac{2 (2 x^{2} + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (2 x^{2} + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)))}{x^{2} + 1}$

Этап 17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (2 x^{2}) + 2 (\ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)))}{x^{2} + 1}$

Этап 17.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Упростим $2 \ln (x^{2} + 1)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (2 (2 x^{2}) + 2 (\ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)))}{x^{2} + 1}$

Этап 17.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (4 x^{2} + 2 (\ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)))}{x^{2} + 1}$

Этап 17.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (4 x^{2} + 2 (\ln (x^{2} + 1) x^{2} + \ln (x^{2} + 1) \cdot 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 17.2.2.3

Умножим $\ln (x^{2} + 1)$ на $1$ .

$\frac{e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (4 x^{2} + 2 (\ln (x^{2} + 1) x^{2} + \ln (x^{2} + 1)))}{x^{2} + 1}$

Этап 17.2.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (4 x^{2} + 2 (\ln (x^{2} + 1) x^{2}) + 2 \ln (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 17.2.2.5

Умножим $2 (\ln (x^{2} + 1) x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.2.5.1

Изменим порядок $\ln (x^{2} + 1)$ и $2$ .

$\frac{e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (4 x^{2} + 2 \cdot \ln (x^{2} + 1) x^{2} + 2 \ln (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 17.2.2.5.2

Упростим $2 \cdot \ln (x^{2} + 1)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (4 x^{2} + \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) x^{2} + 2 \ln (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 17.2.2.6

Упростим $2 \ln (x^{2} + 1)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (4 x^{2} + \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) x^{2} + \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}))}{x^{2} + 1}$

Этап 17.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (4 x^{2}) + e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) x^{2}) + e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Этап 17.2.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{4 e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} x^{2} + e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) x^{2}) + e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Этап 17.2.5

Изменим порядок множителей в $4 e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} x^{2} + e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) x^{2}) + e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ .

$\frac{4 x^{2} e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} + x^{2} e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Этап 17.3

Изменим порядок членов.

$\frac{4 e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} x^{2} + e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} x^{2} \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$