Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{4} \frac{\sqrt{y} - y}{y^{2}} d y$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{y^{\frac{1}{2}} - y}{y^{2}} d y$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $y^{\frac{1}{2}}$ из $y^{\frac{1}{2}} - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Умножим на $1$ .

$\int_{1}^{4} \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - y}{y^{2}} d y$

Этап 1.1.2.2

Вынесем множитель $y^{\frac{1}{2}}$ из $- y$ .

$\int_{1}^{4} \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + y^{\frac{1}{2}} (- y^{\frac{1}{2}})}{y^{2}} d y$

Этап 1.1.2.3

Вынесем множитель $y^{\frac{1}{2}}$ из $y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + y^{\frac{1}{2}} (- y^{\frac{1}{2}})$ .

$\int_{1}^{4} \frac{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}})}{y^{2}} d y$

Этап 1.2

Перенесем $y^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{2} y^{- \frac{1}{2}}} d y$

Этап 1.3

Умножим $y^{2}$ на $y^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{2 - \frac{1}{2}}} d y$

Этап 1.3.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d y$

Этап 1.3.3

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}} d y$

Этап 1.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}} d y$

Этап 1.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{4 - 1}{2}}} d y$

Этап 1.3.5.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{3}{2}}} d y$

Этап 2

Вынесем $y^{\frac{3}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int_{1}^{4} (1 - y^{\frac{1}{2}}) {(y^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d y$

Этап 3

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} (1 - y^{\frac{1}{2}}) y^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d y$

Этап 3.2

Умножим $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $- 1$ .

$\int_{1}^{4} (1 - y^{\frac{1}{2}}) y^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d y$

Этап 3.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\int_{1}^{4} (1 - y^{\frac{1}{2}}) y^{\frac{- 3}{2}} d y$

Этап 3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int_{1}^{4} (1 - y^{\frac{1}{2}}) y^{- \frac{3}{2}} d y$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{1}^{4} 1 y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{1}{2}} y^{- \frac{3}{2}} d y$

Этап 4.2

Умножим $y^{- \frac{3}{2}}$ на $1$ .

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{1}{2}} y^{- \frac{3}{2}} d y$

Этап 4.3

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - (y^{\frac{1}{2}} y^{- \frac{3}{2}}) d y$

Этап 4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} d y$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{1 - 3}{2}} d y$

Этап 4.6

Вычтем $3$ из $1$ .

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{- 2}{2}} d y$

Этап 4.7

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} d y$

Этап 4.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} d y$

Этап 4.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} d y$

Этап 4.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{- 1}{1}} d y$

Этап 4.7.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{- 1} d y$

Этап 4.8

Изменим порядок $y^{- \frac{3}{2}}$ и $- y^{- 1}$ .

$\int_{1}^{4} - y^{- 1} + y^{- \frac{3}{2}} d y$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{4} - y^{- 1} d y + \int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} d y$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{1}^{4} y^{- 1} d y + \int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} d y$

Этап 7

Интеграл $y^{- 1}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$- (\ln (| y |)]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} d y$

Этап 8

По правилу степени интеграл $y^{- \frac{3}{2}}$ по $y$ имеет вид $- 2 y^{- \frac{1}{2}}$ .

$- (\ln (| y |)]_{1}^{4}) + - 2 y^{- \frac{1}{2}}]_{1}^{4}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Найдем значение $\ln (| y |)$ в $4$ и в $1$ .

$- ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 1 |)) + - 2 y^{- \frac{1}{2}}]_{1}^{4}$

Этап 9.1.2

Найдем значение $- 2 y^{- \frac{1}{2}}$ в $4$ и в $1$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + - 2 \cdot 4^{- \frac{1}{2}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Этап 9.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{4^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Этап 9.1.3.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Этап 9.1.3.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{2^{2 (\frac{1}{2})}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Этап 9.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{2^{2 (\frac{1}{2})}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Этап 9.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{2^{1}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Этап 9.1.3.5

Найдем экспоненту.

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Этап 9.1.3.6

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2}$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{- 2}{2} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Этап 9.1.3.7

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.7.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{2 \cdot - 1}{2} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Этап 9.1.3.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Этап 9.1.3.7.2.2

Сократим общий множитель.

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Этап 9.1.3.7.2.3

Перепишем это выражение.

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{- 1}{1} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Этап 9.1.3.7.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 1 + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Этап 9.1.3.8

Единица в любой степени равна единице.

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 1 + 2 \cdot 1$

Этап 9.1.3.9

Умножим $2$ на $1$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 1 + 2$

Этап 9.1.3.10

Добавим $- 1$ и $2$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + 1$

Этап 9.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{| 4 |}{| 1 |}) + 1$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $4$ равно $4$ .

$- \ln (\frac{4}{| 1 |}) + 1$

Этап 9.3.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$- \ln (\frac{4}{1}) + 1$

Этап 9.3.3

Разделим $4$ на $1$ .

$- \ln (4) + 1$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \ln (4) + 1$

Десятичная форма:

$- 0.38629436 \dots$

Этап 11