Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{(5 x - 3) (3 - 4 x)} d x$

Этап 1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{5 x - 3}$

Этап 1.1.2

$\frac{A}{5 x - 3} + \frac{B}{3 - 4 x}$

Этап 1.1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(5 x - 3) (3 - 4 x)$ .

$\frac{1 (5 x - 3) (3 - 4 x)}{(5 x - 3) (3 - 4 x)} = \frac{(A) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{5 x - 3} + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

Этап 1.1.4

Сократим общий множитель $5 x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (5 x - 3) (3 - 4 x)}{(5 x - 3) (3 - 4 x)} = \frac{(A) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{5 x - 3} + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

Этап 1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (3 - 4 x)}{3 - 4 x} = \frac{(A) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{5 x - 3} + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

Этап 1.1.5

Сократим общий множитель $3 - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (3 - 4 x)}{3 - 4 x} = \frac{(A) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{5 x - 3} + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

Этап 1.1.5.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{(A) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{5 x - 3} + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

Этап 1.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Сократим общий множитель $5 x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (5 x - 3) (3 - 4 x)}{5 x - 3} + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

Этап 1.1.6.1.2

Разделим $(A) (3 - 4 x)$ на $1$ .

$1 = (A) (3 - 4 x) + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

Этап 1.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A \cdot 3 + A (- 4 x) + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

Этап 1.1.6.3

Перенесем $3$ влево от $A$ .

$1 = 3 \cdot A + A (- 4 x) + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

Этап 1.1.6.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = 3 \cdot A - 4 A x + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

Этап 1.1.6.5

Сократим общий множитель $3 - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.5.1

Сократим общий множитель.

$1 = 3 A - 4 A x + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

Этап 1.1.6.5.2

Разделим $(B) (5 x - 3)$ на $1$ .

$1 = 3 A - 4 A x + (B) (5 x - 3)$

Этап 1.1.6.6

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = 3 A - 4 A x + B (5 x) + B \cdot - 3$

Этап 1.1.6.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = 3 A - 4 A x + 5 B x + B \cdot - 3$

Этап 1.1.6.8

Перенесем $- 3$ влево от $B$ .

$1 = 3 A - 4 A x + 5 B x - 3 B$

Этап 1.1.7

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Перенесем $A$ .

$1 = 3 A - 4 x A + 5 B x - 3 B$

Этап 1.1.7.2

Перенесем $B$ .

$1 = 3 A - 4 x A + 5 x B - 3 B$

Этап 1.1.7.3

Перенесем $3 A$ .

$1 = - 4 x A + 5 x B + 3 A - 3 B$

Этап 1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = - 4 A + 5 B$

Этап 1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = 3 A - 3 B$

Этап 1.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = - 4 A + 5 B$

$1 = 3 A - 3 B$

$0 = - 4 A + 5 B$

$1 = 3 A - 3 B$

Этап 1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Решим относительно $A$ в $0 = - 4 A + 5 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $- 4 A + 5 B = 0$ .

$- 4 A + 5 B = 0$

$1 = 3 A - 3 B$

Этап 1.3.1.2

Вычтем $5 B$ из обеих частей уравнения.

$- 4 A = - 5 B$

$1 = 3 A - 3 B$

Этап 1.3.1.3

Разделим каждый член $- 4 A = - 5 B$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.3.1

Разделим каждый член $- 4 A = - 5 B$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{- 5 B}{- 4}$

$1 = 3 A - 3 B$

Этап 1.3.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.3.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{- 5 B}{- 4}$

$1 = 3 A - 3 B$

Этап 1.3.1.3.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{- 5 B}{- 4}$

$1 = 3 A - 3 B$

$A = \frac{- 5 B}{- 4}$

$1 = 3 A - 3 B$

$A = \frac{- 5 B}{- 4}$

$1 = 3 A - 3 B$

Этап 1.3.1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.3.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = 3 A - 3 B$

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = 3 A - 3 B$

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = 3 A - 3 B$

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = 3 A - 3 B$

Этап 1.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $\frac{5 B}{4}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $1 = 3 A - 3 B$ на $\frac{5 B}{4}$ .

$1 = 3 (\frac{5 B}{4}) - 3 B$

$A = \frac{5 B}{4}$

Этап 1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Упростим $3 (\frac{5 B}{4}) - 3 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.1

Умножим $3 (\frac{5 B}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.1.1

Объединим $3$ и $\frac{5 B}{4}$ .

$1 = \frac{3 (5 B)}{4} - 3 B$

$A = \frac{5 B}{4}$

Этап 1.3.2.2.1.1.2

Умножим $5$ на $3$ .

$1 = \frac{15 B}{4} - 3 B$

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = \frac{15 B}{4} - 3 B$

$A = \frac{5 B}{4}$

Этап 1.3.2.2.1.2

Чтобы записать $- 3 B$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$1 = \frac{15 B}{4} - 3 B \cdot \frac{4}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

Этап 1.3.2.2.1.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.3.1

Объединим $- 3 B$ и $\frac{4}{4}$ .

$1 = \frac{15 B}{4} + \frac{- 3 B \cdot 4}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

Этап 1.3.2.2.1.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$1 = \frac{15 B - 3 B \cdot 4}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = \frac{15 B - 3 B \cdot 4}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

Этап 1.3.2.2.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.4.1

Вынесем множитель $3 B$ из $15 B - 3 B \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.4.1.1

Вынесем множитель $3 B$ из $15 B$ .

$1 = \frac{3 B (5) - 3 B \cdot 4}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

Этап 1.3.2.2.1.4.1.2

Вынесем множитель $3 B$ из $- 3 B \cdot 4$ .

$1 = \frac{3 B (5) + 3 B (- 1 \cdot 4)}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

Этап 1.3.2.2.1.4.1.3

Вынесем множитель $3 B$ из $3 B (5) + 3 B (- 1 \cdot 4)$ .

$1 = \frac{3 B (5 - 1 \cdot 4)}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = \frac{3 B (5 - 1 \cdot 4)}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

Этап 1.3.2.2.1.4.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$1 = \frac{3 B (5 - 4)}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

Этап 1.3.2.2.1.4.3

Вычтем $4$ из $5$ .

$1 = \frac{3 B \cdot 1}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

Этап 1.3.2.2.1.4.4

Умножим $3$ на $1$ .

$1 = \frac{3 B}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = \frac{3 B}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = \frac{3 B}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = \frac{3 B}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = \frac{3 B}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

Этап 1.3.3

Решим относительно $B$ в $1 = \frac{3 B}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{3 B}{4} = 1$ .

$\frac{3 B}{4} = 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

Этап 1.3.3.2

Умножим обе части уравнения на $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 B}{4} = \frac{4}{3} \cdot 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

Этап 1.3.3.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.1.1

Упростим $\frac{4}{3} \cdot \frac{3 B}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.1.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 B}{4} = \frac{4}{3} \cdot 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

Этап 1.3.3.3.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} \cdot (3 B) = \frac{4}{3} \cdot 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

$\frac{1}{3} \cdot (3 B) = \frac{4}{3} \cdot 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

Этап 1.3.3.3.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 B$ .

$\frac{1}{3} \cdot (3 (B)) = \frac{4}{3} \cdot 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

Этап 1.3.3.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} \cdot (3 B) = \frac{4}{3} \cdot 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

Этап 1.3.3.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$B = \frac{4}{3} \cdot 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

$B = \frac{4}{3} \cdot 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

$B = \frac{4}{3} \cdot 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

$B = \frac{4}{3} \cdot 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

Этап 1.3.3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.2.1

Умножим $\frac{4}{3}$ на $1$ .

$B = \frac{4}{3}$

$A = \frac{5 B}{4}$

$B = \frac{4}{3}$

$A = \frac{5 B}{4}$

$B = \frac{4}{3}$

$A = \frac{5 B}{4}$

$B = \frac{4}{3}$

$A = \frac{5 B}{4}$

Этап 1.3.4

Заменим все вхождения $B$ на $\frac{4}{3}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = \frac{5 B}{4}$ на $\frac{4}{3}$ .

$A = \frac{5 (\frac{4}{3})}{4}$

$B = \frac{4}{3}$

Этап 1.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1

Упростим $\frac{5 (\frac{4}{3})}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1.1

Объединим $5$ и $\frac{4}{3}$ .

$A = \frac{\frac{5 \cdot 4}{3}}{4}$

$B = \frac{4}{3}$

Этап 1.3.4.2.1.2

Умножим $5$ на $4$ .

$A = \frac{\frac{20}{3}}{4}$

$B = \frac{4}{3}$

Этап 1.3.4.2.1.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$A = \frac{20}{3} \cdot \frac{1}{4}$

$B = \frac{4}{3}$

Этап 1.3.4.2.1.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$A = \frac{4 (5)}{3} \cdot \frac{1}{4}$

$B = \frac{4}{3}$

Этап 1.3.4.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$A = \frac{4 \cdot 5}{3} \cdot \frac{1}{4}$

$B = \frac{4}{3}$

Этап 1.3.4.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$A = \frac{5}{3}$

$B = \frac{4}{3}$

$A = \frac{5}{3}$

$B = \frac{4}{3}$

$A = \frac{5}{3}$

$B = \frac{4}{3}$

$A = \frac{5}{3}$

$B = \frac{4}{3}$

$A = \frac{5}{3}$

$B = \frac{4}{3}$

Этап 1.3.5

Перечислим все решения.

$A = \frac{5}{3}, B = \frac{4}{3}$

Этап 1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{5 x - 3} + \frac{B}{3 - 4 x}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{\frac{5}{3}}{5 x - 3} + \frac{\frac{4}{3}}{3 - 4 x}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{5 x - 3} + \frac{\frac{4}{3}}{3 - 4 x}$

Этап 1.5.2

Умножим $\frac{5}{3}$ на $\frac{1}{5 x - 3}$ .

$\frac{5}{3 (5 x - 3)} + \frac{\frac{4}{3}}{3 - 4 x}$

Этап 1.5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{5}{3 (5 x - 3)} + \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{3 - 4 x}$

Этап 1.5.4

Умножим $\frac{4}{3}$ на $\frac{1}{3 - 4 x}$ .

$\int \frac{5}{3 (5 x - 3)} + \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{5}{3 (5 x - 3)} d x + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{5}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{5}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{5}{3} \int \frac{1}{5 x - 3} d x + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Этап 4

Пусть $u_{1} = 5 x - 3$ . Тогда $d u_{1} = 5 d x$ , следовательно $\frac{1}{5} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u_{1} = 5 x - 3$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $5 x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Этап 4.1.2

По правилу суммы производная $5 x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $5$ на $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$5 + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $5$ и $0$ .

$5$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\frac{5}{3} \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{5} d u_{1} + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $\frac{1}{u_{1}}$ на $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{3} \int \frac{1}{u_{1} \cdot 5} d u_{1} + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Этап 5.2

Перенесем $5$ влево от $u_{1}$ .

$\frac{5}{3} \int \frac{1}{5 u_{1}} d u_{1} + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$\frac{5}{3} (\frac{1}{5} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{5}{3}$ .

$\frac{5}{5 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Этап 7.2

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{5}{15} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Этап 7.3

Сократим общий множитель $5$ и $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\frac{5 (1)}{15} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Этап 7.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $15$ .

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Этап 7.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Этап 7.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Этап 8

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Этап 9

Поскольку $\frac{4}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{4}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{4}{3} \int \frac{1}{3 - 4 x} d x$

Этап 10

Пусть $u_{2} = 3 - 4 x$ . Тогда $d u_{2} = - 4 d x$ , следовательно $- \frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Пусть $u_{2} = 3 - 4 x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Дифференцируем $3 - 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 4 x]$

Этап 10.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.2.1

По правилу суммы производная $3 - 4 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 10.1.2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 10.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 10.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 4 \cdot 1$

Этап 10.1.3.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$0 - 4$

Этап 10.1.4

Вычтем $4$ из $0$ .

$- 4$

Этап 10.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{4}{3} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{- 4} d u_{2}$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{4}{3} \int \frac{1}{u_{2}} (- \frac{1}{4}) d u_{2}$

Этап 11.2

Умножим $\frac{1}{u_{2}}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{4}{3} \int - \frac{1}{u_{2} \cdot 4} d u_{2}$

Этап 11.3

Перенесем $4$ влево от $u_{2}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{4}{3} \int - \frac{1}{4 u_{2}} d u_{2}$

Этап 12

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{4}{3} (- \int \frac{1}{4 u_{2}} d u_{2})$

Этап 13

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{4}{3} (- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}))$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Умножим $\frac{4}{3}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{4}{3 \cdot 4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 14.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{4}{12} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 14.3

Сократим общий множитель $4$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{4 (1)}{12} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 14.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 14.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 14.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 15

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{3} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Этап 16

Упростим.

$\frac{1}{3} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 17

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $5 x - 3$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 5 x - 3 |) - \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 17.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 - 4 x$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 5 x - 3 |) - \frac{1}{3} \ln (| 3 - 4 x |) + C$