Математический анализ Примеры

$f (x) = 10 x^{2} + x$

Этап 1

Квадратичная функция достигает минимума в $x = - \frac{b}{2 a}$ . Если $a$ принимает положительные значения, то минимальным значением функции будет $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{минимум}$ $x = a x^{2} + b x + c$ входит в $x = - \frac{b}{2 a}$

Этап 2

Найдем значение $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим в значения $a$ и $b$ .

$x = - \frac{1}{2 (10)}$

Этап 2.2

Избавимся от скобок.

$x = - \frac{1}{2 (10)}$

Этап 2.3

Умножим $2$ на $10$ .

$x = - \frac{1}{20}$

Этап 3

Найдем значение $f (- \frac{1}{20})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{1}{20}$ .

$f (- \frac{1}{20}) = 10 {(- \frac{1}{20})}^{2} - \frac{1}{20}$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Избавимся от скобок.

$f (- \frac{1}{20}) = 10 {(- \frac{1}{20})}^{2} - \frac{1}{20}$

Этап 3.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{20}$ .

$f (- \frac{1}{20}) = 10 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{20})}^{2}) - \frac{1}{20}$

Этап 3.2.2.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{20}$ .

$f (- \frac{1}{20}) = 10 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{20^{2}})) - \frac{1}{20}$

Этап 3.2.2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{1}{20}) = 10 (1 (\frac{1^{2}}{20^{2}})) - \frac{1}{20}$

Этап 3.2.2.3

Умножим $\frac{1^{2}}{20^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{1}{20}) = 10 (\frac{1^{2}}{20^{2}}) - \frac{1}{20}$

Этап 3.2.2.4

Единица в любой степени равна единице.

$f (- \frac{1}{20}) = 10 (\frac{1}{20^{2}}) - \frac{1}{20}$

Этап 3.2.2.5

Возведем $20$ в степень $2$ .

$f (- \frac{1}{20}) = 10 (\frac{1}{400}) - \frac{1}{20}$

Этап 3.2.2.6

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.6.1

Вынесем множитель $10$ из $400$ .

$f (- \frac{1}{20}) = 10 (\frac{1}{10 (40)}) - \frac{1}{20}$

Этап 3.2.2.6.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{1}{20}) = 10 (\frac{1}{10 \cdot 40}) - \frac{1}{20}$

Этап 3.2.2.6.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{1}{20}) = \frac{1}{40} - \frac{1}{20}$

Этап 3.2.3

Чтобы записать $- \frac{1}{20}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{20}) = \frac{1}{40} - \frac{1}{20} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.2.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $40$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Умножим $\frac{1}{20}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{20}) = \frac{1}{40} - \frac{2}{20 \cdot 2}$

Этап 3.2.4.2

Умножим $20$ на $2$ .

$f (- \frac{1}{20}) = \frac{1}{40} - \frac{2}{40}$

Этап 3.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{1}{20}) = \frac{1 - 2}{40}$

Этап 3.2.6

Вычтем $2$ из $1$ .

$f (- \frac{1}{20}) = \frac{- 1}{40}$

Этап 3.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{1}{20}) = - \frac{1}{40}$

Этап 3.2.8

Окончательный ответ: $- \frac{1}{40}$ .

$- \frac{1}{40}$

Этап 4

Используем значения $x$ и $y$ , чтобы найти, где достигается минимум.

$(- \frac{1}{20}, - \frac{1}{40})$

Этап 5