Математический анализ Примеры

$\int_{2}^{3} (t^{2} - 9) (4 - t^{2}) d t$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{2}^{3} t^{2} (4 - t^{2}) - 9 (4 - t^{2}) d t$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{2}^{3} t^{2} \cdot 4 + t^{2} (- t^{2}) - 9 (4 - t^{2}) d t$

Этап 1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{2}^{3} t^{2} \cdot 4 + t^{2} (- t^{2}) - 9 \cdot 4 - 9 (- t^{2}) d t$

Этап 1.4

Изменим порядок $t^{2}$ и $4$ .

$\int_{2}^{3} 4 \cdot t^{2} + t^{2} (- t^{2}) - 9 \cdot 4 - 9 (- t^{2}) d t$

Этап 1.5

Изменим порядок $t^{2}$ и $- 1$ .

$\int_{2}^{3} 4 \cdot t^{2} - 1 \cdot t^{2} t^{2} - 9 \cdot 4 - 9 (- t^{2}) d t$

Этап 1.6

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\int_{2}^{3} 4 t^{2} - (t^{2} t^{2}) - 9 \cdot 4 - 9 \cdot - 1 t^{2} d t$

Этап 1.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{2}^{3} 4 t^{2} - t^{2 + 2} - 9 \cdot 4 - 9 \cdot - 1 t^{2} d t$

Этап 1.8

Добавим $2$ и $2$ .

$\int_{2}^{3} 4 t^{2} - t^{4} - 9 \cdot 4 - 9 \cdot - 1 t^{2} d t$

Этап 1.9

Умножим $- 9$ на $4$ .

$\int_{2}^{3} 4 t^{2} - t^{4} - 36 - 9 \cdot - 1 t^{2} d t$

Этап 1.10

Умножим $- 9$ на $- 1$ .

$\int_{2}^{3} 4 t^{2} - t^{4} - 36 + 9 t^{2} d t$

Этап 1.11

Изменим порядок $4 t^{2}$ и $- t^{4}$ .

$\int_{2}^{3} - t^{4} + 4 t^{2} - 36 + 9 t^{2} d t$

Этап 1.12

Изменим порядок $- 36$ и $9 t^{2}$ .

$\int_{2}^{3} - t^{4} + 4 t^{2} + 9 t^{2} - 36 d t$

Этап 1.13

Перенесем $4 t^{2}$ .

$\int_{2}^{3} - t^{4} + 9 t^{2} + 4 t^{2} - 36 d t$

Этап 1.14

Добавим $9 t^{2}$ и $4 t^{2}$ .

$\int_{2}^{3} - t^{4} + 13 t^{2} - 36 d t$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{2}^{3} - t^{4} d t + \int_{2}^{3} 13 t^{2} d t + \int_{2}^{3} - 36 d t$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{2}^{3} t^{4} d t + \int_{2}^{3} 13 t^{2} d t + \int_{2}^{3} - 36 d t$

Этап 4

По правилу степени интеграл $t^{4}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{5} t^{5}$ .

$- (\frac{1}{5} t^{5}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} 13 t^{2} d t + \int_{2}^{3} - 36 d t$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{5}$ и $t^{5}$ .

$- (\frac{t^{5}}{5}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} 13 t^{2} d t + \int_{2}^{3} - 36 d t$

Этап 6

Поскольку $13$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $13$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{t^{5}}{5}]_{2}^{3}) + 13 \int_{2}^{3} t^{2} d t + \int_{2}^{3} - 36 d t$

Этап 7

По правилу степени интеграл $t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$- (\frac{t^{5}}{5}]_{2}^{3}) + 13 (\frac{1}{3} t^{3}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} - 36 d t$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $t^{3}$ .

$- (\frac{t^{5}}{5}]_{2}^{3}) + 13 (\frac{t^{3}}{3}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} - 36 d t$

Этап 9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (\frac{t^{5}}{5}]_{2}^{3}) + 13 (\frac{t^{3}}{3}]_{2}^{3}) + - 36 t]_{2}^{3}$

Этап 10

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем значение $\frac{t^{5}}{5}$ в $3$ и в $2$ .

$- ((\frac{3^{5}}{5}) - \frac{2^{5}}{5}) + 13 (\frac{t^{3}}{3}]_{2}^{3}) + - 36 t]_{2}^{3}$

Этап 10.2

Найдем значение $\frac{t^{3}}{3}$ в $3$ и в $2$ .

$- (\frac{3^{5}}{5} - \frac{2^{5}}{5}) + 13 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + - 36 t]_{2}^{3}$

Этап 10.3

Найдем значение $- 36 t$ в $3$ и в $2$ .

$- (\frac{3^{5}}{5} - \frac{2^{5}}{5}) + 13 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Этап 10.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Возведем $3$ в степень $5$ .

$- (\frac{243}{5} - \frac{2^{5}}{5}) + 13 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Этап 10.4.2

Возведем $2$ в степень $5$ .

$- (\frac{243}{5} - \frac{32}{5}) + 13 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Этап 10.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{243 - 32}{5} + 13 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Этап 10.4.4

Вычтем $32$ из $243$ .

$- \frac{211}{5} + 13 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Этап 10.4.5

Возведем $3$ в степень $3$ .

$- \frac{211}{5} + 13 (\frac{27}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Этап 10.4.6

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.6.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$- \frac{211}{5} + 13 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Этап 10.4.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- \frac{211}{5} + 13 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Этап 10.4.6.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{211}{5} + 13 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Этап 10.4.6.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{211}{5} + 13 (\frac{9}{1} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Этап 10.4.6.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$- \frac{211}{5} + 13 (9 - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Этап 10.4.7

Возведем $2$ в степень $3$ .

$- \frac{211}{5} + 13 (9 - \frac{8}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Этап 10.4.8

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{211}{5} + 13 (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Этап 10.4.9

Объединим $9$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{211}{5} + 13 (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Этап 10.4.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{211}{5} + 13 \frac{9 \cdot 3 - 8}{3} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Этап 10.4.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.11.1

Умножим $9$ на $3$ .

$- \frac{211}{5} + 13 \frac{27 - 8}{3} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Этап 10.4.11.2

Вычтем $8$ из $27$ .

$- \frac{211}{5} + 13 (\frac{19}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Этап 10.4.12

Объединим $13$ и $\frac{19}{3}$ .

$- \frac{211}{5} + \frac{13 \cdot 19}{3} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Этап 10.4.13

Умножим $13$ на $19$ .

$- \frac{211}{5} + \frac{247}{3} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Этап 10.4.14

Чтобы записать $- \frac{211}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{211}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{247}{3} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Этап 10.4.15

Чтобы записать $\frac{247}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{211}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{247}{3} \cdot \frac{5}{5} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Этап 10.4.16

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $15$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.16.1

Умножим $\frac{211}{5}$ на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{211 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{247}{3} \cdot \frac{5}{5} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Этап 10.4.16.2

Умножим $5$ на $3$ .

$- \frac{211 \cdot 3}{15} + \frac{247}{3} \cdot \frac{5}{5} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Этап 10.4.16.3

Умножим $\frac{247}{3}$ на $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{211 \cdot 3}{15} + \frac{247 \cdot 5}{3 \cdot 5} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Этап 10.4.16.4

Умножим $3$ на $5$ .

$- \frac{211 \cdot 3}{15} + \frac{247 \cdot 5}{15} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Этап 10.4.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 211 \cdot 3 + 247 \cdot 5}{15} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Этап 10.4.18

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.18.1

Умножим $- 211$ на $3$ .

$\frac{- 633 + 247 \cdot 5}{15} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Этап 10.4.18.2

Умножим $247$ на $5$ .

$\frac{- 633 + 1235}{15} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Этап 10.4.18.3

Добавим $- 633$ и $1235$ .

$\frac{602}{15} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Этап 10.4.19

Умножим $- 36$ на $3$ .

$\frac{602}{15} - 108 + 36 \cdot 2$

Этап 10.4.20

Умножим $36$ на $2$ .

$\frac{602}{15} - 108 + 72$

Этап 10.4.21

Добавим $- 108$ и $72$ .

$\frac{602}{15} - 36$

Этап 10.4.22

Чтобы записать $- 36$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{15}{15}$ .

$\frac{602}{15} - 36 \cdot \frac{15}{15}$

Этап 10.4.23

Объединим $- 36$ и $\frac{15}{15}$ .

$\frac{602}{15} + \frac{- 36 \cdot 15}{15}$

Этап 10.4.24

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{602 - 36 \cdot 15}{15}$

Этап 10.4.25

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.25.1

Умножим $- 36$ на $15$ .

$\frac{602 - 540}{15}$

Этап 10.4.25.2

Вычтем $540$ из $602$ .

$\frac{62}{15}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{62}{15}$

Десятичная форма:

$4.1\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$4 \frac{2}{15}$

Этап 12