Математический анализ Примеры

По правилу суммы производная ${\displaystyle x^3+1}$ по ${\displaystyle x}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^3\right]+\frac{d}{dx}\left[1\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=3}$.

Поскольку ${\displaystyle 1}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 1}$ относительно ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 0}$.

Добавим ${\displaystyle 3x^2}$ и ${\displaystyle 0}$.

Поскольку ${\displaystyle 3}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 3x^2}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 3\frac{d}{dx}\left[x^2\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=2}$.

Умножим ${\displaystyle 2}$ на ${\displaystyle 3}$.

Найдем первую производную.

Первая производная ${\displaystyle f\left(x\right)}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 3x^2}$.

Пусть первая производная равна ${\displaystyle 0}$.

Разделим каждый член ${\displaystyle 3x^2=0}$ на ${\displaystyle 3}$ и упростим.

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

Упростим ${\displaystyle \pm \sqrt{0}}$.

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Разобьем ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$ на отдельные интервалы в окрестности значений ${\displaystyle x}$, при которых первая производная равна ${\displaystyle 0}$ или не определена.

Подставим любое число такое, что ${\displaystyle -2}$, из интервала ${\displaystyle (-\infty ,0)}$ в первую производную ${\displaystyle 3x^2}$, чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Подставим любое число такое, что ${\displaystyle 2}$, из интервала ${\displaystyle (0,\infty )}$ в первую производную ${\displaystyle 3x^2}$, чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности ${\displaystyle x=0}$, в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Локальный минимум или минимум для ${\displaystyle f\left(x\right)=x^3+1}$ не найден.