Математический анализ Примеры

$(x + 1) (x + 2)$

Этап 1

Запишем $(x + 1) (x + 2)$ в виде функции.

$f (x) = (x + 1) (x + 2)$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int (x + 1) (x + 2) d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x (x + 2) + 1 (x + 2) d x$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x \cdot x + x \cdot 2 + 1 (x + 2) d x$

Этап 4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x \cdot x + x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

Этап 4.4

Изменим порядок $x$ и $2$ .

$\int x \cdot x + 2 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

Этап 4.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int x^{1} x + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

Этап 4.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int x^{1} x^{1} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

Этап 4.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{1 + 1} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

Этап 4.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\int x^{2} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

Этап 4.9

Умножим $x$ на $1$ .

$\int x^{2} + 2 x + x + 1 \cdot 2 d x$

Этап 4.10

Умножим $2$ на $1$ .

$\int x^{2} + 2 x + x + 2 d x$

Этап 4.11

Добавим $2 x$ и $x$ .

$\int x^{2} + 3 x + 2 d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{2} d x + \int 3 x d x + \int 2 d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int 3 x d x + \int 2 d x$

Этап 7

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 \int x d x + \int 2 d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 2 d x$

Этап 9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 x + C$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 x + C$

Этап 10.2

Упростим.

$\frac{x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + C$

Этап 10.3

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 2 x + C$

Этап 11

Ответ ― первообразная функции $f (x) = (x + 1) (x + 2)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 2 x + C$