Математический анализ Примеры

$e^{x + y} = x y$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (e^{x + y}) = \frac{d}{d x} (x y)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x + y]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + y$ .

$e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $x + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$e^{x + y} (1 + y')$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Этап 3.4

Умножим $y$ на $1$ .

$x y' + y$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$e^{x + y} (1 + y') = x y' + y$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим $e^{x + y} (1 + y')$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем.

$0 + 0 + e^{x + y} (1 + y') = x y' + y$

Этап 5.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$e^{x + y} (1 + y') = x y' + y$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{x + y} \cdot 1 + e^{x + y} y' = x y' + y$

Этап 5.1.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Умножим $e^{x + y}$ на $1$ .

$e^{x + y} + e^{x + y} y' = x y' + y$

Этап 5.1.4.2

Изменим порядок множителей в $e^{x + y} + e^{x + y} y'$ .

$e^{x + y} + y' e^{x + y} = x y' + y$

Этап 5.2

Вычтем $x y'$ из обеих частей уравнения.

$e^{x + y} + y' e^{x + y} - x y' = y$

Этап 5.3

Вычтем $e^{x + y}$ из обеих частей уравнения.

$y' e^{x + y} - x y' = y - e^{x + y}$

Этап 5.4

Вынесем множитель $y'$ из $y' e^{x + y} - x y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $y'$ из $y' e^{x + y}$ .

$y' (e^{x + y}) - x y' = y - e^{x + y}$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель $y'$ из $- x y'$ .

$y' (e^{x + y}) + y' (- x) = y - e^{x + y}$

Этап 5.4.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (e^{x + y}) + y' (- x)$ .

$y' (e^{x + y} - x) = y - e^{x + y}$

Этап 5.5

Разделим каждый член $y' (e^{x + y} - x) = y - e^{x + y}$ на $e^{x + y} - x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разделим каждый член $y' (e^{x + y} - x) = y - e^{x + y}$ на $e^{x + y} - x$ .

$\frac{y' (e^{x + y} - x)}{e^{x + y} - x} = \frac{y}{e^{x + y} - x} + \frac{- e^{x + y}}{e^{x + y} - x}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Сократим общий множитель $e^{x + y} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (e^{x + y} - x)}{e^{x + y} - x} = \frac{y}{e^{x + y} - x} + \frac{- e^{x + y}}{e^{x + y} - x}$

Этап 5.5.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{y}{e^{x + y} - x} + \frac{- e^{x + y}}{e^{x + y} - x}$

Этап 5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{y - e^{x + y}}{e^{x + y} - x}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y - e^{x + y}}{e^{x + y} - x}$