Математический анализ Примеры

$\int {(2 x - 3)}^{3} x d x$

Этап 1

Пусть $u = 2 x - 3$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 2 x - 3$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $2 x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $2 x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int u^{3} (\frac{u}{2} + \frac{3}{2}) \frac{1}{2} d u$

Этап 2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $u^{3}$ .

$\int \frac{u^{3}}{2} (\frac{u}{2} + \frac{3}{2}) d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \frac{u^{3}}{2} \cdot \frac{u}{2} + \frac{u^{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} d u$

Этап 3.2

Умножим $\frac{u^{3}}{2}$ на $\frac{u}{2}$ .

$\int \frac{u^{3} u}{2 \cdot 2} + \frac{u^{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} d u$

Этап 3.3

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int \frac{u^{3} u^{1}}{2 \cdot 2} + \frac{u^{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} d u$

Этап 3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \frac{u^{3 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{u^{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} d u$

Этап 3.5

Добавим $3$ и $1$ .

$\int \frac{u^{4}}{2 \cdot 2} + \frac{u^{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} d u$

Этап 3.6

Умножим $2$ на $2$ .

$\int \frac{u^{4}}{4} + \frac{u^{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} d u$

Этап 3.7

Умножим $\frac{u^{3}}{2}$ на $\frac{3}{2}$ .

$\int \frac{u^{4}}{4} + \frac{u^{3} \cdot 3}{2 \cdot 2} d u$

Этап 3.8

Умножим $2$ на $2$ .

$\int \frac{u^{4}}{4} + \frac{u^{3} \cdot 3}{4} d u$

Этап 4

Перенесем $3$ влево от $u^{3}$ .

$\int \frac{u^{4}}{4} + \frac{3 u^{3}}{4} d u$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{u^{4}}{4} d u + \int \frac{3 u^{3}}{4} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} \int u^{4} d u + \int \frac{3 u^{3}}{4} d u$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{4}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int \frac{3 u^{3}}{4} d u$

Этап 8

Поскольку $\frac{3}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{3}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \frac{3}{4} \int u^{3} d u$

Этап 9

По правилу степени интеграл $u^{3}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \frac{3}{4} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

Этап 10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 5} u^{5} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

Этап 10.2.2

Умножим $4$ на $5$ .

$\frac{1}{20} u^{5} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

Этап 10.2.3

Умножим $\frac{3}{4}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{20} u^{5} + \frac{3}{4 \cdot 4} u^{4} + C$

Этап 10.2.4

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{1}{20} u^{5} + \frac{3}{16} u^{4} + C$

Этап 11

Заменим все вхождения $u$ на $2 x - 3$ .

$\frac{1}{20} {(2 x - 3)}^{5} + \frac{3}{16} {(2 x - 3)}^{4} + C$