Математический анализ Примеры

$\cos (x) \cdot e^{\sin (x)}$

Этап 1

Запишем $\cos (x) \cdot e^{\sin (x)}$ в виде функции.

$f (x) = \cos (x) \cdot e^{\sin (x)}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \cos (x) \cdot e^{\sin (x)} d x$

Этап 4

Пусть $u = \sin (x)$ . Тогда $d u = \cos (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = \sin (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 4.1.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int e^{u} d u$

Этап 5

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$e^{u} + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$e^{\sin (x)} + C$

Этап 7

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \cos (x) \cdot e^{\sin (x)}$ .

$F (x) =$ $e^{\sin (x)} + C$