Математический анализ Примеры

$80 + \frac{4}{x + 1}$

Этап 1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $80 + \frac{4}{x + 1}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [80] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x + 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [80] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x + 1}]$

Этап 1.2

Поскольку $80$ является константой относительно $x$ , производная $80$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x + 1}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x + 1}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4}{x + 1}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1}]$ .

$0 + 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1}]$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{1}{x + 1}$ в виде ${(x + 1)}^{- 1}$ .

$0 + 4 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- 1}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 1$ .

$0 + 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$0 + 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$0 + 4 (- {(x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 2.4

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$0 + 4 (- {(x + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 4 (- {(x + 1)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Этап 2.6

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + 4 (- {(x + 1)}^{- 2} (1 + 0))$

Этап 2.7

Добавим $1$ и $0$ .

$0 + 4 (- {(x + 1)}^{- 2} \cdot 1)$

Этап 2.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 + 4 (- {(x + 1)}^{- 2})$

Этап 2.9

Умножим $- 1$ на $4$ .

$0 - 4 {(x + 1)}^{- 2}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 4 \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$0 + \frac{- 4}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$0 - \frac{4}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.3

Вычтем $\frac{4}{{(x + 1)}^{2}}$ из $0$ .

$- \frac{4}{{(x + 1)}^{2}}$