Математический анализ Примеры

Поскольку ${\displaystyle -\frac{1}{3}}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -\frac{1}{3}{x}^6}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle -\frac{1}{3}\frac{d}{dx}\left[x^6\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=6}$.

Умножим ${\displaystyle 6}$ на ${\displaystyle -1}$.

Объединим ${\displaystyle -6}$ и ${\displaystyle \frac{1}{3}}$.

Объединим ${\displaystyle \frac{-6}{3}}$ и ${\displaystyle x^5}$.

Сократим общий множитель ${\displaystyle -6}$ и ${\displaystyle 3}$.

Поскольку ${\displaystyle -\frac{1}{3}}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -\frac{1}{3}{x}^3}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle -\frac{1}{3}\frac{d}{dx}\left[x^3\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=3}$.

Умножим ${\displaystyle 3}$ на ${\displaystyle -1}$.

Объединим ${\displaystyle -3}$ и ${\displaystyle \frac{1}{3}}$.

Объединим ${\displaystyle \frac{-3}{3}}$ и ${\displaystyle x^2}$.

Сократим общий множитель ${\displaystyle -3}$ и ${\displaystyle 3}$.

Поскольку ${\displaystyle -\frac{1}{3}}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -\frac{1}{3}{x}^{-3}}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle -\frac{1}{3}\frac{d}{dx}\left[x^{-3}\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=-3}$.

Умножим ${\displaystyle -3}$ на ${\displaystyle -1}$.

Объединим ${\displaystyle 3}$ и ${\displaystyle \frac{1}{3}}$.

Объединим ${\displaystyle \frac{3}{3}}$ и ${\displaystyle x^{-4}}$.

Перенесем ${\displaystyle x^{-4}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Сократим общий множитель ${\displaystyle 3}$.

Поскольку ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle \frac{1}{2}{x}^{-4}}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle \frac{1}{2}\frac{d}{dx}\left[x^{-4}\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=-4}$.

Объединим ${\displaystyle -4}$ и ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Объединим ${\displaystyle \frac{-4}{2}}$ и ${\displaystyle x^{-5}}$.

Перенесем ${\displaystyle x^{-5}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Сократим общий множитель ${\displaystyle -4}$ и ${\displaystyle 2}$.

Вынесем знак минуса перед дробью.

Поскольку ${\displaystyle -2}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -2x^5}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle -2\frac{d}{dx}\left[x^5\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=5}$.

Умножим ${\displaystyle 5}$ на ${\displaystyle -2}$.

Поскольку ${\displaystyle -1}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -x^2}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle -\frac{d}{dx}\left[x^2\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=2}$.

Умножим ${\displaystyle 2}$ на ${\displaystyle -1}$.

Перепишем ${\displaystyle \frac{1}{x^4}}$ в виде ${\displaystyle {\left(x^4\right)}^{-1}}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{-1}}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=x^4}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=4}$.

Перемножим экспоненты в ${\displaystyle {\left(x^4\right)}^{-2}}$.

Умножим ${\displaystyle 4}$ на ${\displaystyle -1}$.

Умножим ${\displaystyle x^{-8}}$ на ${\displaystyle x^3}$, сложив экспоненты.

Поскольку ${\displaystyle -2}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -\frac{2}{x^5}}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle -2\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x^5}\right]}$.

Перепишем ${\displaystyle \frac{1}{x^5}}$ в виде ${\displaystyle {\left(x^5\right)}^{-1}}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{-1}}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=x^5}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=5}$.

Перемножим экспоненты в ${\displaystyle {\left(x^5\right)}^{-2}}$.

Умножим ${\displaystyle 5}$ на ${\displaystyle -1}$.

Умножим ${\displaystyle x^{-10}}$ на ${\displaystyle x^4}$, сложив экспоненты.

Умножим ${\displaystyle -5}$ на ${\displaystyle -2}$.

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Объединим термины.