Математический анализ Примеры

$\int \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - x} d x$

Этап 1

Разделим $x^{2} + 1$ на $x^{2} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{2}$

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Этап 1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	-	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

Этап 1.3

Умножим новое частное на делитель.

						$1$
$x^{2}$	-	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					+	$x^{2}$	-	$x$	+	$0$

Этап 1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} - x + 0$ .

						$1$
$x^{2}$	-	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$x^{2}$	+	$x$	-	$0$

Этап 1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

						$1$
$x^{2}$	-	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$x^{2}$	+	$x$	-	$0$
							+	$x$	+	$1$

Этап 1.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int 1 + \frac{x + 1}{x^{2} - x} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int d x + \int \frac{x + 1}{x^{2} - x} d x$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$x + C + \int \frac{x + 1}{x^{2} - x} d x$

Этап 4

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x + 1}{x \cdot x - x}$

Этап 4.1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$\frac{x + 1}{x \cdot x + x \cdot - 1}$

Этап 4.1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$\frac{x + 1}{x (x - 1)}$

Этап 4.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1}$

Этап 4.1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $x (x - 1)$ .

$\frac{(x + 1) (x (x - 1))}{x (x - 1)} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Этап 4.1.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 1) (x (x - 1))}{x (x - 1)} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Этап 4.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Этап 4.1.5

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Этап 4.1.5.2

Разделим $x + 1$ на $1$ .

$x + 1 = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Этап 4.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$x + 1 = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Этап 4.1.6.1.2

Разделим $A (x - 1)$ на $1$ .

$x + 1 = A (x - 1) + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Этап 4.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Этап 4.1.6.3

Перенесем $- 1$ влево от $A$ .

$x + 1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Этап 4.1.6.4

Перепишем $- 1 A$ в виде $- A$ .

$x + 1 = A x - A + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Этап 4.1.6.5

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.5.1

Сократим общий множитель.

$x + 1 = A x - A + \frac{B (x (x - 1))}{x - 1}$

Этап 4.1.6.5.2

Разделим $(B) (x)$ на $1$ .

$x + 1 = A x - A + (B) (x)$

$x + 1 = A x - A + B x$

Этап 4.1.7

Перенесем $- A$ .

$x + 1 = A x + B x - A$

Этап 4.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A + B$

Этап 4.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = - 1 A$

Этап 4.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$1 = A + B$

$1 = - 1 A$

$1 = A + B$

$1 = - 1 A$

Этап 4.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Решим относительно $A$ в $1 = - 1 A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $- 1 A = 1$ .

$- 1 A = 1$

$1 = A + B$

Этап 4.3.1.2

Разделим каждый член $- 1 A = 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Разделим каждый член $- 1 A = 1$ на $- 1$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$1 = A + B$

Этап 4.3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{A}{1} = \frac{1}{- 1}$

$1 = A + B$

Этап 4.3.1.2.2.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{1}{- 1}$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{- 1}$

$1 = A + B$

Этап 4.3.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$A = - 1$

$1 = A + B$

$A = - 1$

$1 = A + B$

$A = - 1$

$1 = A + B$

$A = - 1$

$1 = A + B$

Этап 4.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $- 1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $1 = A + B$ на $- 1$ .

$1 = (- 1) + B$

$A = - 1$

Этап 4.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Избавимся от скобок.

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

Этап 4.3.3

Решим относительно $B$ в $1 = - 1 + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 1 + B = 1$ .

$- 1 + B = 1$

$A = - 1$

Этап 4.3.3.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$B = 1 + 1$

$A = - 1$

Этап 4.3.3.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$B = 2$

$A = - 1$

$B = 2$

$A = - 1$

$B = 2$

$A = - 1$

Этап 4.3.4

Решим систему уравнений.

$B = 2 A = - 1$

Этап 4.3.5

Перечислим все решения.

$B = 2, A = - 1$

Этап 4.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{2}{x - 1}$

Этап 4.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x + C + \int - \frac{1}{x} + \frac{2}{x - 1} d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$x + C + \int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{2}{x - 1} d x$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$x + C - \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{2}{x - 1} d x$

Этап 7

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$x + C - (\ln (| x |) + C) + \int \frac{2}{x - 1} d x$

Этап 8

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$x + C - (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{x - 1} d x$

Этап 9

Пусть $u = x - 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Пусть $u = x - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Дифференцируем $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 9.1.2

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 9.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 9.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 9.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 9.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$x + C - (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{u} d u$

Этап 10

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$x + C - (\ln (| x |) + C) + 2 (\ln (| u |) + C)$

Этап 11

Упростим.

$x - \ln (| x |) + 2 \ln (| u |) + C$

Этап 12

Заменим все вхождения $u$ на $x - 1$ .

$x - \ln (| x |) + 2 \ln (| x - 1 |) + C$