Математический анализ Примеры

$\sin (x) + e^{- x} + 3 x$

Этап 1

По правилу суммы производная $\sin (x) + e^{- x} + 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\cos (x) + e^{u} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$\cos (x) + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 3.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (x) + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (x) + e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\cos (x) + e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 3.5

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$\cos (x) - 1 \cdot e^{- x} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 3.6

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$\cos (x) - e^{- x} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (x) - e^{- x} + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (x) - e^{- x} + 3 \cdot 1$

Этап 4.3

Умножим $3$ на $1$ .

$\cos (x) - e^{- x} + 3$

Этап 5

Изменим порядок членов.

$3 - e^{- x} + \cos (x)$