Математический анализ Примеры

$\int (\frac{16}{x^{6}} - \frac{9}{x^{- 3}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int \frac{16}{x^{6}} - \frac{9}{x^{- 3}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перенесем $x^{- 3}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\int \frac{16}{x^{6}} - (9 x^{3}) + \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Этап 2.2

Умножим $9$ на $- 1$ .

$\int \frac{16}{x^{6}} - 9 x^{3} + \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{16}{x^{6}} d x + \int - 9 x^{3} d x + \int \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Этап 4

Поскольку $16$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $16$ из-под знака интеграла.

$16 \int \frac{1}{x^{6}} d x + \int - 9 x^{3} d x + \int \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Этап 5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем $x^{6}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$16 \int {(x^{6})}^{- 1} d x + \int - 9 x^{3} d x + \int \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Этап 5.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{6})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 \int x^{6 \cdot - 1} d x + \int - 9 x^{3} d x + \int \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Этап 5.2.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$16 \int x^{- 6} d x + \int - 9 x^{3} d x + \int \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{- 6}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{5} x^{- 5}$ .

$16 (- \frac{1}{5} x^{- 5} + C) + \int - 9 x^{3} d x + \int \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $x^{- 5}$ и $\frac{1}{5}$ .

$16 (- \frac{x^{- 5}}{5} + C) + \int - 9 x^{3} d x + \int \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Этап 7.2

Перенесем $x^{- 5}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) + \int - 9 x^{3} d x + \int \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Этап 8

Поскольку $- 9$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 9$ из-под знака интеграла.

$16 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) - 9 \int x^{3} d x + \int \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$16 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) - 9 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Этап 10

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$16 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) - 9 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Этап 11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вынесем $x^{\frac{1}{3}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$16 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) - 9 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 \int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Этап 11.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$16 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) - 9 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 4 \int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Этап 11.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) - 9 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 4 \int x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

Этап 11.2.2.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 1$ .

$16 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) - 9 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 4 \int x^{\frac{- 1}{3}} d x$

Этап 11.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$16 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) - 9 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 4 \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 12

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$16 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) - 9 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C)$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x^{\frac{2}{3}}$ .

$16 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) - 9 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 4 (\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2} + C)$

Этап 13.2

Упростим.

$- \frac{16}{5 x^{5}} - \frac{9 x^{4}}{4} + 4 \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2} + C$

Этап 13.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Объединим $4$ и $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2}$ .

$- \frac{16}{5 x^{5}} - \frac{9 x^{4}}{4} + \frac{4 (3 x^{\frac{2}{3}})}{2} + C$

Этап 13.3.2

Умножим $3$ на $4$ .

$- \frac{16}{5 x^{5}} - \frac{9 x^{4}}{4} + \frac{12 x^{\frac{2}{3}}}{2} + C$

Этап 13.3.3

Вынесем множитель $2$ из $12 x^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{16}{5 x^{5}} - \frac{9 x^{4}}{4} + \frac{2 (6 x^{\frac{2}{3}})}{2} + C$

Этап 13.3.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{16}{5 x^{5}} - \frac{9 x^{4}}{4} + \frac{2 (6 x^{\frac{2}{3}})}{2 (1)} + C$

Этап 13.3.4.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{16}{5 x^{5}} - \frac{9 x^{4}}{4} + \frac{2 (6 x^{\frac{2}{3}})}{2 \cdot 1} + C$

Этап 13.3.4.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{16}{5 x^{5}} - \frac{9 x^{4}}{4} + \frac{6 x^{\frac{2}{3}}}{1} + C$

Этап 13.3.4.4

Разделим $6 x^{\frac{2}{3}}$ на $1$ .

$- \frac{16}{5 x^{5}} - \frac{9 x^{4}}{4} + 6 x^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 14

Изменим порядок членов.

$- \frac{16}{5 x^{5}} - \frac{9}{4} x^{4} + 6 x^{\frac{2}{3}} + C$