Математический анализ Примеры

$\int \frac{6 x^{2} - 8 x + 6}{3 x^{3} - 6 x^{2} + 9 x} d x$

Этап 1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разложим дробь на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x^{2} - 8 x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x^{2}$ .

$\frac{2 (3 x^{2}) - 8 x + 6}{3 x^{3} - 6 x^{2} + 9 x}$

Этап 1.1.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 8 x$ .

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 6}{3 x^{3} - 6 x^{2} + 9 x}$

Этап 1.1.1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 (3)}{3 x^{3} - 6 x^{2} + 9 x}$

Этап 1.1.1.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (3 x^{2}) + 2 (- 4 x)$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x) + 2 (3)}{3 x^{3} - 6 x^{2} + 9 x}$

Этап 1.1.1.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (3 x^{2} - 4 x) + 2 (3)$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3)}{3 x^{3} - 6 x^{2} + 9 x}$

Этап 1.1.1.2

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x^{3}$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3)}{3 x (x^{2}) - 6 x^{2} + 9 x}$

Этап 1.1.1.2.2

Вынесем множитель $3 x$ из $- 6 x^{2}$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3)}{3 x (x^{2}) + 3 x (- 2 x) + 9 x}$

Этап 1.1.1.2.3

Вынесем множитель $3 x$ из $9 x$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3)}{3 x (x^{2}) + 3 x (- 2 x) + 3 x (3)}$

Этап 1.1.1.2.4

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x (x^{2}) + 3 x (- 2 x)$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3)}{3 x (x^{2} - 2 x) + 3 x (3)}$

Этап 1.1.1.2.5

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x (x^{2} - 2 x) + 3 x (3)$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3)}{3 x (x^{2} - 2 x + 3)}$

Этап 1.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку у множителя 2-й порядок, в числителе должно быть $2$ членов. Количество необходимых членов в числителе всегда равно порядку множителя в знаменателе.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} - 2 x + 3}$

Этап 1.1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $3 x (x^{2} - 2 x + 3)$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{3 x (x^{2} - 2 x + 3)} = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Этап 1.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{3 x (x^{2} - 2 x + 3)} = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Этап 1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3) (x (x^{2} - 2 x + 3))}{x (x^{2} - 2 x + 3)} = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Этап 1.1.5

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3) (x (x^{2} - 2 x + 3))}{x (x^{2} - 2 x + 3)} = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Этап 1.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3) (x^{2} - 2 x + 3)}{x^{2} - 2 x + 3} = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Этап 1.1.6

Сократим общий множитель $x^{2} - 2 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3) (x^{2} - 2 x + 3)}{x^{2} - 2 x + 3} = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Этап 1.1.6.2

Разделим $2 (3 x^{2} - 4 x + 3)$ на $1$ .

$2 (3 x^{2} - 4 x + 3) = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Этап 1.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (3 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 3 = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Этап 1.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1

Умножим $3$ на $2$ .

$6 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 3 = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Этап 1.1.8.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$6 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 3 = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Этап 1.1.8.3

Умножим $2$ на $3$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Этап 1.1.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.1.1

Сократим общий множитель.

$6 x^{2} - 8 x + 6 = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Этап 1.1.9.1.2

Разделим $A (3 (x^{2} - 2 x + 3))$ на $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = A (3 (x^{2} - 2 x + 3)) + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Этап 1.1.9.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A (x^{2} - 2 x + 3) + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Этап 1.1.9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} + 3 A (- 2 x) + 3 A \cdot 3 + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Этап 1.1.9.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} + 3 \cdot (- 2 A x) + 3 A \cdot 3 + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Этап 1.1.9.4.2

Умножим $3$ на $3$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} + 3 \cdot (- 2 A x) + 9 A + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Этап 1.1.9.5

Умножим $3$ на $- 2$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} - 6 A x + 9 A + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Этап 1.1.9.6

Сократим общий множитель $x^{2} - 2 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.6.1

Сократим общий множитель.

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} - 6 A x + 9 A + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Этап 1.1.9.6.2

Разделим $(B x + C) (3 x)$ на $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} - 6 A x + 9 A + (B x + C) (3 x)$

Этап 1.1.9.7

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x (3 x) + C (3 x)$

Этап 1.1.9.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} - 6 A x + 9 A + 3 B x \cdot x + C (3 x)$

Этап 1.1.9.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} - 6 A x + 9 A + 3 B x \cdot x + 3 C x$

Этап 1.1.9.10

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.10.1

Перенесем $x$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} - 6 A x + 9 A + 3 B (x \cdot x) + 3 C x$

Этап 1.1.9.10.2

Умножим $x$ на $x$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} - 6 A x + 9 A + 3 B x^{2} + 3 C x$

Этап 1.1.10

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.10.1

Перенесем $A$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 x^{2} A - 6 A x + 9 A + 3 B x^{2} + 3 C x$

Этап 1.1.10.2

Перенесем $A$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 x^{2} A - 6 x A + 9 A + 3 B x^{2} + 3 C x$

Этап 1.1.10.3

Перенесем $B$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 x^{2} A - 6 x A + 9 A + 3 x^{2} B + 3 C x$

Этап 1.1.10.4

Перенесем $9 A$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 x^{2} A - 6 x A + 3 x^{2} B + 3 C x + 9 A$

Этап 1.1.10.5

Перенесем $- 6 x A$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 x^{2} A + 3 x^{2} B - 6 x A + 3 C x + 9 A$

Этап 1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$6 = 3 A + 3 B$

Этап 1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Этап 1.2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$6 = 9 A$

Этап 1.2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$6 = 9 A$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$6 = 9 A$

Этап 1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Решим относительно $A$ в $6 = 9 A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $9 A = 6$ .

$9 A = 6$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Этап 1.3.1.2

Разделим каждый член $9 A = 6$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.1

Разделим каждый член $9 A = 6$ на $9$ .

$\frac{9 A}{9} = \frac{6}{9}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Этап 1.3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 A}{9} = \frac{6}{9}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Этап 1.3.1.2.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{6}{9}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$A = \frac{6}{9}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$A = \frac{6}{9}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Этап 1.3.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.3.1

Сократим общий множитель $6$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$A = \frac{3 (2)}{9}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Этап 1.3.1.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$A = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Этап 1.3.1.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$A = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Этап 1.3.1.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$A = \frac{2}{3}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$A = \frac{2}{3}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$A = \frac{2}{3}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$A = \frac{2}{3}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$A = \frac{2}{3}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$A = \frac{2}{3}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Этап 1.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $\frac{2}{3}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $6 = 3 A + 3 B$ на $\frac{2}{3}$ .

$6 = 3 (\frac{2}{3}) + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Этап 1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$6 = 3 (\frac{2}{3}) + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Этап 1.3.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Этап 1.3.2.3

Заменим все вхождения $A$ в $- 8 = - 6 A + 3 C$ на $\frac{2}{3}$ .

$- 8 = - 6 (\frac{2}{3}) + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Этап 1.3.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.4.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.4.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 6$ .

$- 8 = 3 (- 2) (\frac{2}{3}) + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Этап 1.3.2.4.1.1.2

Сократим общий множитель.

$- 8 = 3 \cdot (- 2 (\frac{2}{3})) + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Этап 1.3.2.4.1.1.3

Перепишем это выражение.

$- 8 = - 2 \cdot 2 + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$- 8 = - 2 \cdot 2 + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Этап 1.3.2.4.1.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$- 8 = - 4 + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$- 8 = - 4 + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$- 8 = - 4 + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$- 8 = - 4 + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Этап 1.3.3

Решим относительно $C$ в $- 8 = - 4 + 3 C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 4 + 3 C = - 8$ .

$- 4 + 3 C = - 8$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Этап 1.3.3.2

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$3 C = - 8 + 4$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Этап 1.3.3.2.2

Добавим $- 8$ и $4$ .

$3 C = - 4$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$3 C = - 4$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Этап 1.3.3.3

Разделим каждый член $3 C = - 4$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.1

Разделим каждый член $3 C = - 4$ на $3$ .

$\frac{3 C}{3} = \frac{- 4}{3}$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Этап 1.3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 C}{3} = \frac{- 4}{3}$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Этап 1.3.3.3.2.1.2

Разделим $C$ на $1$ .

$C = \frac{- 4}{3}$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$C = \frac{- 4}{3}$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$C = \frac{- 4}{3}$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Этап 1.3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$C = - \frac{4}{3}$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Этап 1.3.4

Заменим все вхождения $C$ на $- \frac{4}{3}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Перепишем уравнение в виде $2 + 3 B = 6$ .

$2 + 3 B = 6$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

Этап 1.3.4.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$3 B = 6 - 2$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

Этап 1.3.4.2.2

Вычтем $2$ из $6$ .

$3 B = 4$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$3 B = 4$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

Этап 1.3.4.3

Разделим каждый член $3 B = 4$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.3.1

Разделим каждый член $3 B = 4$ на $3$ .

$\frac{3 B}{3} = \frac{4}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

Этап 1.3.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 B}{3} = \frac{4}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

Этап 1.3.4.3.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{4}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$B = \frac{4}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$B = \frac{4}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$B = \frac{4}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$B = \frac{4}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

Этап 1.3.5

Перечислим все решения.

$B = \frac{4}{3}, C = - \frac{4}{3}, A = \frac{2}{3}$

Этап 1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} - 2 x + 3}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{\frac{4}{3 x} - \frac{4}{3}}{x^{2} - 2 x + 3}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим числитель и знаменатель дроби на $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Умножим $\frac{\frac{4}{3} x - \frac{4}{3}}{x^{2} - 2 x + 3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{4}{3} x - \frac{4}{3}}{x^{2} - 2 x + 3}$

Этап 1.5.1.2

Объединим.

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{3 (\frac{4}{3} x - \frac{4}{3})}{3 (x^{2} - 2 x + 3)}$

Этап 1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{3 (\frac{4}{3} x) + 3 (- \frac{4}{3})}{3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3}$

Этап 1.5.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4}{3}$ в числитель.

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{3 (\frac{4}{3} x) + 3 (\frac{- 4}{3})}{3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3}$

Этап 1.5.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{3 (\frac{4}{3} x) + 3 (\frac{- 4}{3})}{3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3}$

Этап 1.5.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{3 (\frac{4}{3} x) - 4}{3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3}$

Этап 1.5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{3 (\frac{4}{3}) \cdot x - 4}{3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3}$

Этап 1.5.4.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{4 x - 4}{3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3}$

Этап 1.5.4.2

Вынесем множитель $4$ из $4 x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{4 (x) - 4}{3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3}$

Этап 1.5.4.2.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{4 (x) + 4 (- 1)}{3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3}$

Этап 1.5.4.2.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (x) + 4 (- 1)$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{4 (x - 1)}{3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3}$

Этап 1.5.5

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2}$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{4 (x - 1)}{3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3}$

Этап 1.5.5.2

Вынесем множитель $3$ из $3 \cdot 3$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{4 (x - 1)}{3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) + 3 (3)}$

Этап 1.5.5.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{2}) + 3 (- 2 x)$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{4 (x - 1)}{3 (x^{2} - 2 x) + 3 (3)}$

Этап 1.5.5.4

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{2} - 2 x) + 3 (3)$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{4 (x - 1)}{3 (x^{2} - 2 x + 3)}$

Этап 1.5.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x} + \frac{4 (x - 1)}{3 (x^{2} - 2 x + 3)}$

Этап 1.5.7

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\int \frac{2}{3 x} + \frac{4 (x - 1)}{3 (x^{2} - 2 x + 3)} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{2}{3 x} d x + \int \frac{4 (x - 1)}{3 (x^{2} - 2 x + 3)} d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{2}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{2}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{4 (x - 1)}{3 (x^{2} - 2 x + 3)} d x$

Этап 4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \int \frac{4 (x - 1)}{3 (x^{2} - 2 x + 3)} d x$

Этап 5

Поскольку $\frac{4}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{4}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{4}{3} \int \frac{x - 1}{x^{2} - 2 x + 3} d x$

Этап 6

Пусть $u = x^{2} - 2 x + 3$ . Тогда $d u = (2 x - 2) d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = (x - 1) d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u = x^{2} - 2 x + 3$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $x^{2} - 2 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 3]$

Этап 6.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 2 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 6.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 6.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 6.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 6.1.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$2 x - 2 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 6.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x - 2 + 0$

Этап 6.1.4.2

Добавим $2 x - 2$ и $0$ .

$2 x - 2$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{4}{3} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{4}{3} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Этап 7.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{4}{3} \int \frac{1}{2 u} d u$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{4}{3} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{4}{3}$ .

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{4}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 9.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{4}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 9.3

Сократим общий множитель $4$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{2 (2)}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 9.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 9.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 9.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 10

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{2}{3} (\ln (| u |) + C)$

Этап 11

Упростим.

$\frac{2}{3} \ln (| x |) + \frac{2}{3} \ln (| u |) + C$

Этап 12

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 2 x + 3$ .

$\frac{2}{3} \ln (| x |) + \frac{2}{3} \ln (| x^{2} - 2 x + 3 |) + C$