Математический анализ Примеры

$y = \frac{x}{x + y}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{x + y})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x + y$ .

$\frac{(x + y) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x + y) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.2.2

Умножим $x + y$ на $1$ .

$\frac{x + y - x \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.2.3

По правилу суммы производная $x + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{x + y - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x + y - x (1 + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{x + y - x (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x + y - x \cdot 1 - x y'}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x + y - x - x y'}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.4.2.2

Объединим противоположные члены в $x + y - x - x y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{y + 0 - x y'}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.4.2.2.2

Добавим $y$ и $0$ .

$\frac{y - x y'}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.4.3

Изменим порядок членов.

$\frac{- x y' + y}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.4.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- x y'$ .

$\frac{- (x y') + y}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $y$ .

$\frac{- (x y') - 1 (- y)}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x y') - 1 (- y)$ .

$\frac{- (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.4.7

Перепишем $- (x y' - y)$ в виде $- 1 (x y' - y)$ .

$\frac{- 1 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.4.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части на ${(x + y)}^{2}$ .

$y' {(x + y)}^{2} = - \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим $- \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель ${(x + y)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}}$ в числитель.

$y' {(x + y)}^{2} = \frac{- (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

Этап 5.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$y' {(x + y)}^{2} = \frac{- (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

Этап 5.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$y' {(x + y)}^{2} = - (x y' - y)$

Этап 5.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y' {(x + y)}^{2} = - (x y') - - y$

Этап 5.2.1.3

Умножим $- - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y' {(x + y)}^{2} = - x y' + 1 y$

Этап 5.2.1.3.2

Умножим $y$ на $1$ .

$y' {(x + y)}^{2} = - x y' + y$

Этап 5.2.1.4

Перенесем $x$ .

$y' {(x + y)}^{2} = - 1 y' x + y$

Этап 5.3

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем $- 1 y'$ в виде $- y'$ .

$y' {(x + y)}^{2} = - y' x + y$

Этап 5.3.2

Перенесем все члены с $y'$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Добавим $y' x$ к обеим частям уравнения.

$y' {(x + y)}^{2} + y' x = y$

Этап 5.3.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Перепишем ${(x + y)}^{2}$ в виде $(x + y) (x + y)$ .

$y' ((x + y) (x + y)) + y' (x) = y$

Этап 5.3.2.2.2

Развернем $(x + y) (x + y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y' (x (x + y) + y (x + y)) + y' (x) = y$

Этап 5.3.2.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y' (x \cdot x + x y + y (x + y)) + y' (x) = y$

Этап 5.3.2.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y' (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y) + y' (x) = y$

Этап 5.3.2.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$y' (x^{2} + x y + y x + y \cdot y) + y' (x) = y$

Этап 5.3.2.2.3.1.2

Умножим $y$ на $y$ .

$y' (x^{2} + x y + y x + y^{2}) + y' (x) = y$

Этап 5.3.2.2.3.2

Добавим $x y$ и $y x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.3.2.1

Изменим порядок $y$ и $x$ .

$y' (x^{2} + x y + x y + y^{2}) + y' (x) = y$

Этап 5.3.2.2.3.2.2

Добавим $x y$ и $x y$ .

$y' (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + y' (x) = y$

Этап 5.3.2.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$y' (x^{2}) + y' (2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

Этап 5.3.2.2.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y' x^{2} + 2 y' x y + y' y^{2} + y' x = y$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' x^{2} + 2 y' x y + y' y^{2} + y' x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем множитель $y'$ из $y' x^{2}$ .

$y' (x^{2}) + 2 y' x y + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

Этап 5.3.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $2 y' x y$ .

$y' (x^{2}) + y' (2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

Этап 5.3.3.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' y^{2}$ .

$y' (x^{2}) + y' (2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

Этап 5.3.3.4

Вынесем множитель $y'$ из $y' x$ .

$y' (x^{2}) + y' (2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

Этап 5.3.3.5

Вынесем множитель $y'$ из $y' (x^{2}) + y' (2 x y)$ .

$y' (x^{2} + 2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

Этап 5.3.3.6

Вынесем множитель $y'$ из $y' (x^{2} + 2 x y) + y' (y^{2})$ .

$y' (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + y' (x) = y$

Этап 5.3.3.7

Вынесем множитель $y'$ из $y' (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + y' (x)$ .

$y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x) = y$

Этап 5.3.4

Разделим каждый член $y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x) = y$ на $x^{2} + 2 x y + y^{2} + x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Разделим каждый член $y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x) = y$ на $x^{2} + 2 x y + y^{2} + x$ .

$\frac{y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x)}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x} = \frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x}$

Этап 5.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1

Сократим общий множитель $x^{2} + 2 x y + y^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x)}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x} = \frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x}$

Этап 5.3.4.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x}$