Математический анализ Примеры

$\frac{1}{6} x^{6} + x^{5} + \frac{5}{3} x^{4}$

Этап 1

Запишем $\frac{1}{6} x^{6} + x^{5} + \frac{5}{3} x^{4}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + x^{5} + \frac{5}{3} x^{4}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{6} x^{6} + x^{5} + \frac{5}{3} x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{3} x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{3} x^{4}]$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{6}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $\frac{1}{6}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{6} x^{6}$ по $x$ равна $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{3} x^{4}]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$\frac{1}{6} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{3} x^{4}]$

Этап 2.1.2.3

Объединим $6$ и $\frac{1}{6}$ .

$\frac{6}{6} x^{5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{3} x^{4}]$

Этап 2.1.2.4

Объединим $\frac{6}{6}$ и $x^{5}$ .

$\frac{6 x^{5}}{6} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{3} x^{4}]$

Этап 2.1.2.5

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x^{5}}{6} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{3} x^{4}]$

Этап 2.1.2.5.2

Разделим $x^{5}$ на $1$ .

$x^{5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{3} x^{4}]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$x^{5} + 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{3} x^{4}]$

Этап 2.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{5}{3} x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку $\frac{5}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{5}{3} x^{4}$ по $x$ равна $\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$x^{5} + 5 x^{4} + \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$x^{5} + 5 x^{4} + \frac{5}{3} (4 x^{3})$

Этап 2.1.4.3

Объединим $4$ и $\frac{5}{3}$ .

$x^{5} + 5 x^{4} + \frac{4 \cdot 5}{3} x^{3}$

Этап 2.1.4.4

Умножим $4$ на $5$ .

$x^{5} + 5 x^{4} + \frac{20}{3} x^{3}$

Этап 2.1.4.5

Объединим $\frac{20}{3}$ и $x^{3}$ .

$f' (x) = x^{5} + 5 x^{4} + \frac{20 x^{3}}{3}$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

По правилу суммы производная $x^{5} + 5 x^{4} + \frac{20 x^{3}}{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{20 x^{3}}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{20 x^{3}}{3}]$

Этап 2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{20 x^{3}}{3}]$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{4}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{20 x^{3}}{3}]$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$5 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{20 x^{3}}{3}]$

Этап 2.2.2.3

Умножим $4$ на $5$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{20 x^{3}}{3}]$

Этап 2.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{20 x^{3}}{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Поскольку $\frac{20}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{20 x^{3}}{3}$ по $x$ равна $\frac{20}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{20}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{20}{3} (3 x^{2})$

Этап 2.2.3.3

Объединим $3$ и $\frac{20}{3}$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{3 \cdot 20}{3} x^{2}$

Этап 2.2.3.4

Умножим $3$ на $20$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{60}{3} x^{2}$

Этап 2.2.3.5

Объединим $\frac{60}{3}$ и $x^{2}$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{60 x^{2}}{3}$

Этап 2.2.3.6

Сократим общий множитель $60$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.6.1

Вынесем множитель $3$ из $60 x^{2}$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{3 (20 x^{2})}{3}$

Этап 2.2.3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{3 (20 x^{2})}{3 (1)}$

Этап 2.2.3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$5 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{3 (20 x^{2})}{3 \cdot 1}$

Этап 2.2.3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$5 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{20 x^{2}}{1}$

Этап 2.2.3.6.2.4

Разделим $20 x^{2}$ на $1$ .

$f'' (x) = 5 x^{4} + 20 x^{3} + 20 x^{2}$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $5 x^{4} + 20 x^{3} + 20 x^{2}$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 20 x^{2}$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $5 x^{4} + 20 x^{3} + 20 x^{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 20 x^{2} = 0$

Этап 3.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $5 x^{2}$ из $5 x^{4} + 20 x^{3} + 20 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Вынесем множитель $5 x^{2}$ из $5 x^{4}$ .

$5 x^{2} (x^{2}) + 20 x^{3} + 20 x^{2} = 0$

Этап 3.2.1.2

Вынесем множитель $5 x^{2}$ из $20 x^{3}$ .

$5 x^{2} (x^{2}) + 5 x^{2} (4 x) + 20 x^{2} = 0$

Этап 3.2.1.3

Вынесем множитель $5 x^{2}$ из $20 x^{2}$ .

$5 x^{2} (x^{2}) + 5 x^{2} (4 x) + 5 x^{2} (4) = 0$

Этап 3.2.1.4

Вынесем множитель $5 x^{2}$ из $5 x^{2} (x^{2}) + 5 x^{2} (4 x)$ .

$5 x^{2} (x^{2} + 4 x) + 5 x^{2} (4) = 0$

Этап 3.2.1.5

Вынесем множитель $5 x^{2}$ из $5 x^{2} (x^{2} + 4 x) + 5 x^{2} (4)$ .

$5 x^{2} (x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Этап 3.2.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$5 x^{2} (x^{2} + 4 x + 2^{2}) = 0$

Этап 3.2.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Этап 3.2.2.3

Перепишем многочлен.

$5 x^{2} (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Этап 3.2.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$5 x^{2} {(x + 2)}^{2} = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x + 2)}^{2} = 0$

Этап 3.4

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 3.4.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 3.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 3.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 3.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 3.5

Приравняем ${(x + 2)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем ${(x + 2)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Этап 3.5.2

Решим ${(x + 2)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 3.5.2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $5 x^{2} {(x + 2)}^{2} = 0$ верно.

$x = 0, - 2$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $0$ в $f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + x^{5} + \frac{5}{3} x^{4}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{1}{6} \cdot {(0)}^{6} + {(0)}^{5} + \frac{5}{3} \cdot {(0)}^{4}$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \frac{1}{6} \cdot 0 + {(0)}^{5} + \frac{5}{3} \cdot {(0)}^{4}$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $\frac{1}{6}$ на $0$ .

$f (0) = 0 + {(0)}^{5} + \frac{5}{3} \cdot {(0)}^{4}$

Этап 4.1.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + \frac{5}{3} \cdot {(0)}^{4}$

Этап 4.1.2.1.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + \frac{5}{3} \cdot 0$

Этап 4.1.2.1.5

Умножим $\frac{5}{3}$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

Этап 4.1.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Этап 4.1.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0$

Этап 4.1.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 4.2

Подставляя $0$ в $f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + x^{5} + \frac{5}{3} x^{4}$ , найдем точку $(0, 0)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0, 0)$

Этап 4.3

Подставим $- 2$ в $f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + x^{5} + \frac{5}{3} x^{4}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{1}{6} \cdot {(- 2)}^{6} + {(- 2)}^{5} + \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

Этап 4.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $6$ .

$f (- 2) = \frac{1}{6} \cdot 64 + {(- 2)}^{5} + \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

Этап 4.3.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$f (- 2) = \frac{1}{2 (3)} \cdot 64 + {(- 2)}^{5} + \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

Этап 4.3.2.1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $64$ .

$f (- 2) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 32) + {(- 2)}^{5} + \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

Этап 4.3.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$f (- 2) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 32) + {(- 2)}^{5} + \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

Этап 4.3.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$f (- 2) = \frac{1}{3} \cdot 32 + {(- 2)}^{5} + \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

Этап 4.3.2.1.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $32$ .

$f (- 2) = \frac{32}{3} + {(- 2)}^{5} + \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

Этап 4.3.2.1.4

Возведем $- 2$ в степень $5$ .

$f (- 2) = \frac{32}{3} - 32 + \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

Этап 4.3.2.1.5

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$f (- 2) = \frac{32}{3} - 32 + \frac{5}{3} \cdot 16$

Этап 4.3.2.1.6

Умножим $\frac{5}{3} \cdot 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.6.1

Объединим $\frac{5}{3}$ и $16$ .

$f (- 2) = \frac{32}{3} - 32 + \frac{5 \cdot 16}{3}$

Этап 4.3.2.1.6.2

Умножим $5$ на $16$ .

$f (- 2) = \frac{32}{3} - 32 + \frac{80}{3}$

Этап 4.3.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 2) = - 32 + \frac{32 + 80}{3}$

Этап 4.3.2.2.2

Добавим $32$ и $80$ .

$f (- 2) = - 32 + \frac{112}{3}$

Этап 4.3.2.3

Чтобы записать $- 32$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = - 32 \cdot \frac{3}{3} + \frac{112}{3}$

Этап 4.3.2.4

Объединим $- 32$ и $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{- 32 \cdot 3}{3} + \frac{112}{3}$

Этап 4.3.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 2) = \frac{- 32 \cdot 3 + 112}{3}$

Этап 4.3.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.1

Умножим $- 32$ на $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 96 + 112}{3}$

Этап 4.3.2.6.2

Добавим $- 96$ и $112$ .

$f (- 2) = \frac{16}{3}$

Этап 4.3.2.7

Окончательный ответ: $\frac{16}{3}$ .

$\frac{16}{3}$

Этап 4.4

Подставляя $- 2$ в $f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + x^{5} + \frac{5}{3} x^{4}$ , найдем точку $(- 2, \frac{16}{3})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 2, \frac{16}{3})$

Этап 4.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(0, 0), (- 2, \frac{16}{3})$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 2)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2.1$ .

$f'' (- 2.1) = 5 {(- 2.1)}^{4} + 20 {(- 2.1)}^{3} + 20 {(- 2.1)}^{2}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 2.1$ в степень $4$ .

$f'' (- 2.1) = 5 \cdot 19.4481 + 20 {(- 2.1)}^{3} + 20 {(- 2.1)}^{2}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $5$ на $19.4481$ .

$f'' (- 2.1) = 97.2405 + 20 {(- 2.1)}^{3} + 20 {(- 2.1)}^{2}$

Этап 6.2.1.3

Возведем $- 2.1$ в степень $3$ .

$f'' (- 2.1) = 97.2405 + 20 \cdot - 9.261 + 20 {(- 2.1)}^{2}$

Этап 6.2.1.4

Умножим $20$ на $- 9.261$ .

$f'' (- 2.1) = 97.2405 - 185.22 + 20 {(- 2.1)}^{2}$

Этап 6.2.1.5

Возведем $- 2.1$ в степень $2$ .

$f'' (- 2.1) = 97.2405 - 185.22 + 20 \cdot 4.41$

Этап 6.2.1.6

Умножим $20$ на $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = 97.2405 - 185.22 + 88.2$

Этап 6.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вычтем $185.22$ из $97.2405$ .

$f'' (- 2.1) = - 87.9795 + 88.2$

Этап 6.2.2.2

Добавим $- 87.9795$ и $88.2$ .

$f'' (- 2.1) = 0.2205$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $0.2205$ .

$0.2205$

Этап 6.3

При $- 2.1$ вторая производная имеет вид $0.2205$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, - 2)$ .

Возрастание в области $(- \infty, - 2)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 2, 0)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f'' (- 1) = 5 {(- 1)}^{4} + 20 {(- 1)}^{3} + 20 {(- 1)}^{2}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f'' (- 1) = 5 \cdot 1 + 20 {(- 1)}^{3} + 20 {(- 1)}^{2}$

Этап 7.2.1.2

Умножим $5$ на $1$ .

$f'' (- 1) = 5 + 20 {(- 1)}^{3} + 20 {(- 1)}^{2}$

Этап 7.2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f'' (- 1) = 5 + 20 \cdot - 1 + 20 {(- 1)}^{2}$

Этап 7.2.1.4

Умножим $20$ на $- 1$ .

$f'' (- 1) = 5 - 20 + 20 {(- 1)}^{2}$

Этап 7.2.1.5

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f'' (- 1) = 5 - 20 + 20 \cdot 1$

Этап 7.2.1.6

Умножим $20$ на $1$ .

$f'' (- 1) = 5 - 20 + 20$

Этап 7.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вычтем $20$ из $5$ .

$f'' (- 1) = - 15 + 20$

Этап 7.2.2.2

Добавим $- 15$ и $20$ .

$f'' (- 1) = 5$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $5$ .

$5$

Этап 7.3

При $- 1$ вторая производная имеет вид $5$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- 2, 0)$ .

Возрастание в области $(- 2, 0)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.1$ .

$f'' (0.1) = 5 {(0.1)}^{4} + 20 {(0.1)}^{3} + 20 {(0.1)}^{2}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $0.1$ в степень $4$ .

$f'' (0.1) = 5 \cdot 0.0001 + 20 {(0.1)}^{3} + 20 {(0.1)}^{2}$

Этап 8.2.1.2

Умножим $5$ на $0.0001$ .

$f'' (0.1) = 0.0005 + 20 {(0.1)}^{3} + 20 {(0.1)}^{2}$

Этап 8.2.1.3

Возведем $0.1$ в степень $3$ .

$f'' (0.1) = 0.0005 + 20 \cdot 0.001 + 20 {(0.1)}^{2}$

Этап 8.2.1.4

Умножим $20$ на $0.001$ .

$f'' (0.1) = 0.0005 + 0.02 + 20 {(0.1)}^{2}$

Этап 8.2.1.5

Возведем $0.1$ в степень $2$ .

$f'' (0.1) = 0.0005 + 0.02 + 20 \cdot 0.01$

Этап 8.2.1.6

Умножим $20$ на $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.0005 + 0.02 + 0.2$

Этап 8.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Добавим $0.0005$ и $0.02$ .

$f'' (0.1) = 0.0205 + 0.2$

Этап 8.2.2.2

Добавим $0.0205$ и $0.2$ .

$f'' (0.1) = 0.2205$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $0.2205$ .

$0.2205$

Этап 8.3

При $0.1$ вторая производная имеет вид $0.2205$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(0, \infty)$ .

Возрастание в области $(0, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 9

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. На графике нет точек, удовлетворяющих этим требованиям.

Нет точек перегиба