Математический анализ Примеры

$\ln (x^{2} (x + 1))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{2} (x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} (x + 1)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} (x + 1)]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} (x + 1)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} (x + 1)$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} \frac{d}{d x} [x^{2} (x + 1)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x + 1$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.4.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} + (x + 1) (2 x))$

Этап 3.6

Перенесем $2$ влево от $x + 1$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} + 2 \cdot (x + 1) x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{x^{2} x + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + 2 (x + 1) x)$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{x^{2} x + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + (2 x + 2 \cdot 1) x)$

Этап 4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{x^{2} x + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

Этап 4.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

Этап 4.4.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

Этап 4.4.1.2

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{1}{x^{3} + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

Этап 4.4.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

Этап 4.4.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 (x^{1} x) + 2 \cdot 1 x)$

Этап 4.4.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 1 x)$

Этап 4.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 x^{1 + 1} + 2 \cdot 1 x)$

Этап 4.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 x^{2} + 2 \cdot 1 x)$

Этап 4.4.7

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 x^{2} + 2 x)$

Этап 4.4.8

Добавим $x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (3 x^{2} + 2 x)$

Этап 4.5

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (3 x^{2} + 2 x)$ .

$(3 x^{2} + 2 x) \frac{1}{x^{3} + x^{2}}$

Этап 4.6

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3} + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3}$ .

$(3 x^{2} + 2 x) \frac{1}{x^{2} x + x^{2}}$

Этап 4.6.2

Умножим на $1$ .

$(3 x^{2} + 2 x) \frac{1}{x^{2} x + x^{2} \cdot 1}$

Этап 4.6.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x + x^{2} \cdot 1$ .

$(3 x^{2} + 2 x) \frac{1}{x^{2} (x + 1)}$

Этап 4.7

Умножим $3 x^{2} + 2 x$ на $\frac{1}{x^{2} (x + 1)}$ .

$\frac{3 x^{2} + 2 x}{x^{2} (x + 1)}$

Этап 4.8

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{2} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{2}$ .

$\frac{x (3 x) + 2 x}{x^{2} (x + 1)}$

Этап 4.8.2

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$\frac{x (3 x) + x \cdot 2}{x^{2} (x + 1)}$

Этап 4.8.3

Вынесем множитель $x$ из $x (3 x) + x \cdot 2$ .

$\frac{x (3 x + 2)}{x^{2} (x + 1)}$

Этап 4.9

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} (x + 1)$ .

$\frac{x (3 x + 2)}{x (x (x + 1))}$

Этап 4.9.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x (3 x + 2)}{x (x (x + 1))}$

Этап 4.9.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 x + 2}{x (x + 1)}$