Математический анализ Примеры

$x^{2} = e^{x - y}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{2}) = \frac{d}{d x} (e^{x - y})$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - y]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x - y]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - y$ .

$e^{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $x - y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$e^{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Этап 3.2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$e^{x - y} (1 - y')$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 x = e^{x - y} (1 - y')$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x - y} (1 - y') = 2 x$ .

$e^{x - y} (1 - y') = 2 x$

Этап 5.2

Разделим каждый член $e^{x - y} (1 - y') = 2 x$ на $e^{x - y}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $e^{x - y} (1 - y') = 2 x$ на $e^{x - y}$ .

$\frac{e^{x - y} (1 - y')}{e^{x - y}} = \frac{2 x}{e^{x - y}}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{x - y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{x - y} (1 - y')}{e^{x - y}} = \frac{2 x}{e^{x - y}}$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим $1 - y'$ на $1$ .

$1 - y' = \frac{2 x}{e^{x - y}}$

Этап 5.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- y' = \frac{2 x}{e^{x - y}} - 1$

Этап 5.4

Разделим каждый член $- y' = \frac{2 x}{e^{x - y}} - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $- y' = \frac{2 x}{e^{x - y}} - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- y'}{- 1} = \frac{\frac{2 x}{e^{x - y}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y'}{1} = \frac{\frac{2 x}{e^{x - y}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 5.4.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{\frac{2 x}{e^{x - y}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\frac{2 x}{e^{x - y}}}{- 1}$ .

$y' = - 1 \cdot \frac{2 x}{e^{x - y}} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 5.4.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot \frac{2 x}{e^{x - y}}$ в виде $- \frac{2 x}{e^{x - y}}$ .

$y' = - \frac{2 x}{e^{x - y}} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 5.4.3.1.3

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$y' = - \frac{2 x}{e^{x - y}} + 1$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{e^{x - y}} + 1$