Математический анализ Примеры

$y = \frac{e^{x}}{x + 1}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{(x + 1) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x + 1) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) e^{x} - e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x + 1) e^{x} - e^{x} (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(x + 1) e^{x} - e^{x} \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.4.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{(x + 1) e^{x} - e^{x}}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x e^{x} + 1 e^{x} - e^{x}}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$\frac{x e^{x} + e^{x} - e^{x}}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.2.2

Объединим противоположные члены в $x e^{x} + e^{x} - e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вычтем $e^{x}$ из $e^{x}$ .

$\frac{x e^{x} + 0}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.2.2.2

Добавим $x e^{x}$ и $0$ .

$\frac{x e^{x}}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.3

Изменим порядок членов.

$\frac{e^{x} x}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.4

Изменим порядок множителей в $\frac{e^{x} x}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{x e^{x}}{{(x + 1)}^{2}}$