Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x}{1 + x}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{x}{1 + x} d x$

Этап 3

Изменим порядок $1$ и $x$ .

$\int \frac{x}{x + 1} d x$

Этап 4

Разделим $x$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Этап 4.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Этап 4.3

Умножим новое частное на делитель.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Этап 4.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x + 1$ .

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Этап 4.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Этап 4.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$x + C + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$x + C - \int \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 8

Пусть $u = x + 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u = x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 8.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 8.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 8.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 8.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 8.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$x + C - \int \frac{1}{u} d u$

Этап 9

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$x + C - (\ln (| u |) + C)$

Этап 10

Упростим.

$x - \ln (| u |) + C$

Этап 11

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$x - \ln (| x + 1 |) + C$

Этап 12

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{x}{1 + x}$ .

$F (x) =$ $x - \ln (| x + 1 |) + C$