Математический анализ Примеры

$e^{x y} = y - x$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (e^{x y}) = \frac{d}{d y} (y - x)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = e^{y}$ и $g (y) = x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d y} [x y]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x y$ .

$e^{x y} \frac{d}{d y} [x y]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = x$ и $g (y) = y$ .

$e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{x y} (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

Этап 2.3.2

Умножим $x$ на $1$ .

$e^{x y} (x + y \frac{d}{d y} [x])$

Этап 2.4

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$e^{x y} (x + y x')$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{x y} x + e^{x y} (y x')$

Этап 2.5.2

Изменим порядок членов.

$e^{x y} x + e^{x y} y x'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

По правилу суммы производная $y - x$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- x]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- x$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [x]$ .

$1 - \frac{d}{d y} [x]$

Этап 3.2.2

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$1 - x'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$e^{x y} x + e^{x y} y x' = 1 - x'$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Изменим порядок множителей в $e^{x y} x + e^{x y} y x'$ .

$x e^{x y} + y x' e^{x y} = 1 - x'$

Этап 5.2

Добавим $x'$ к обеим частям уравнения.

$x e^{x y} + y x' e^{x y} + x' = 1$

Этап 5.3

Вычтем $x e^{x y}$ из обеих частей уравнения.

$y x' e^{x y} + x' = 1 - x e^{x y}$

Этап 5.4

Вынесем множитель $x'$ из $y x' e^{x y} + x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $x'$ из $y x' e^{x y}$ .

$x' (y e^{x y}) + x' = 1 - x e^{x y}$

Этап 5.4.2

Возведем $x'$ в степень $1$ .

$x' (y e^{x y}) + x' = 1 - x e^{x y}$

Этап 5.4.3

Вынесем множитель $x'$ из ${x'}^{1}$ .

$x' (y e^{x y}) + x' \cdot 1 = 1 - x e^{x y}$

Этап 5.4.4

Вынесем множитель $x'$ из $x' (y e^{x y}) + x' \cdot 1$ .

$x' (y e^{x y} + 1) = 1 - x e^{x y}$

Этап 5.5

Разделим каждый член $x' (y e^{x y} + 1) = 1 - x e^{x y}$ на $y e^{x y} + 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разделим каждый член $x' (y e^{x y} + 1) = 1 - x e^{x y}$ на $y e^{x y} + 1$ .

$\frac{x' (y e^{x y} + 1)}{y e^{x y} + 1} = \frac{1}{y e^{x y} + 1} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y} + 1}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Сократим общий множитель $y e^{x y} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' (y e^{x y} + 1)}{y e^{x y} + 1} = \frac{1}{y e^{x y} + 1} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y} + 1}$

Этап 5.5.2.1.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{1}{y e^{x y} + 1} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y} + 1}$

Этап 5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$x' = \frac{1 - x e^{x y}}{y e^{x y} + 1}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1 - x e^{x y}}{y e^{x y} + 1}$