Математический анализ Примеры

$2 x^{3} y - y - x^{4} = - 1$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (2 x^{3} y - y - x^{4}) = \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 x^{3} y - y - x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{3} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3} y$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3} y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

$2 (x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 (x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 (x^{3} y' + y (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Этап 2.2.5

Перенесем $3$ влево от $y$ .

$2 (x^{3} y' + 3 y x^{2}) + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 (x^{3} y' + 3 y x^{2}) - \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Этап 2.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 (x^{3} y' + 3 y x^{2}) - y' + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{4}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 (x^{3} y' + 3 y x^{2}) - y' - \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$2 (x^{3} y' + 3 y x^{2}) - y' - (4 x^{3})$

Этап 2.4.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$2 (x^{3} y' + 3 y x^{2}) - y' - 4 x^{3}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x^{3} y') + 2 (3 y x^{2}) - y' - 4 x^{3}$

Этап 2.5.2

Умножим $3$ на $2$ .

$2 x^{3} y' + 6 y x^{2} - y' - 4 x^{3}$

Этап 2.5.3

Изменим порядок членов.

$- 4 x^{3} + 2 x^{3} y' + 6 x^{2} y - y'$

Этап 3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- 4 x^{3} + 2 x^{3} y' + 6 x^{2} y - y' = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Добавим $4 x^{3}$ к обеим частям уравнения.

$2 x^{3} y' + 6 x^{2} y - y' = 4 x^{3}$

Этап 5.1.2

Вычтем $6 x^{2} y$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{3} y' - y' = 4 x^{3} - 6 x^{2} y$

Этап 5.2

Вынесем множитель $y'$ из $2 x^{3} y' - y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $y'$ из $2 x^{3} y'$ .

$y' (2 x^{3}) - y' = 4 x^{3} - 6 x^{2} y$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $y'$ из $- y'$ .

$y' (2 x^{3}) + y' \cdot - 1 = 4 x^{3} - 6 x^{2} y$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (2 x^{3}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (2 x^{3} - 1) = 4 x^{3} - 6 x^{2} y$

Этап 5.3

Разделим каждый член $y' (2 x^{3} - 1) = 4 x^{3} - 6 x^{2} y$ на $2 x^{3} - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $y' (2 x^{3} - 1) = 4 x^{3} - 6 x^{2} y$ на $2 x^{3} - 1$ .

$\frac{y' (2 x^{3} - 1)}{2 x^{3} - 1} = \frac{4 x^{3}}{2 x^{3} - 1} + \frac{- 6 x^{2} y}{2 x^{3} - 1}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $2 x^{3} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (2 x^{3} - 1)}{2 x^{3} - 1} = \frac{4 x^{3}}{2 x^{3} - 1} + \frac{- 6 x^{2} y}{2 x^{3} - 1}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{4 x^{3}}{2 x^{3} - 1} + \frac{- 6 x^{2} y}{2 x^{3} - 1}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{4 x^{3} - 6 x^{2} y}{2 x^{3} - 1}$

Этап 5.3.3.2

Вынесем множитель $2 x^{2}$ из $4 x^{3} - 6 x^{2} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Вынесем множитель $2 x^{2}$ из $4 x^{3}$ .

$y' = \frac{2 x^{2} (2 x) - 6 x^{2} y}{2 x^{3} - 1}$

Этап 5.3.3.2.2

Вынесем множитель $2 x^{2}$ из $- 6 x^{2} y$ .

$y' = \frac{2 x^{2} (2 x) + 2 x^{2} (- 3 y)}{2 x^{3} - 1}$

Этап 5.3.3.2.3

Вынесем множитель $2 x^{2}$ из $2 x^{2} (2 x) + 2 x^{2} (- 3 y)$ .

$y' = \frac{2 x^{2} (2 x - 3 y)}{2 x^{3} - 1}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2} (2 x - 3 y)}{2 x^{3} - 1}$