Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2} + \frac{8}{x}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} + \frac{8}{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x})$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x})$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{8}{x}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = 2 x + 8 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Этап 1.1.2.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 2 x + 8 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Этап 1.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f' (x) = 2 x + 8 (- x^{- 2})$

Этап 1.1.2.4

Умножим $- 1$ на $8$ .

$f' (x) = 2 x - 8 x^{- 2}$

Этап 1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 x - 8 \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.1.3.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{- 8}{x^{2}}$

Этап 1.1.3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = 2 x - \frac{8}{x^{2}}$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $2 x - \frac{8}{x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x^{2}})$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x^{2}})$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x^{2}})$

Этап 1.2.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x^{2}})$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{8}{x^{2}}$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 - 8 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.2.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 - 8 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1}$

Этап 1.2.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 8 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Этап 1.2.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = 2 - 8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Этап 1.2.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 8 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Этап 1.2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 - 8 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Этап 1.2.3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 - 8 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Этап 1.2.3.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = 2 - 8 (- x^{- 4} (2 x))$

Этап 1.2.3.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 2 - 8 (- 2 x^{- 4} x)$

Этап 1.2.3.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 2 - 8 (- 2 (x \cdot x^{- 4}))$

Этап 1.2.3.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 2 - 8 (- 2 x^{1 - 4})$

Этап 1.2.3.9

Вычтем $4$ из $1$ .

$f'' (x) = 2 - 8 (- 2 x^{- 3})$

Этап 1.2.3.10

Умножим $- 2$ на $- 8$ .

$f'' (x) = 2 + 16 x^{- 3}$

Этап 1.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 + 16 (\frac{1}{x^{3}})$

Этап 1.2.4.2

Объединим $16$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{16}{x^{3}}$

Этап 1.2.4.3

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = \frac{16}{x^{3}} + 2$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{16}{x^{3}} + 2$ .

$\frac{16}{x^{3}} + 2$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{16}{x^{3}} + 2 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{16}{x^{3}} + 2 = 0$

Этап 2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$\frac{16}{x^{3}} = - 2$

Этап 2.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{3}, 1$

Этап 2.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{3}$

Этап 2.4

Каждый член в $\frac{16}{x^{3}} = - 2$ умножим на $x^{3}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим каждый член $\frac{16}{x^{3}} = - 2$ на $x^{3}$ .

$\frac{16}{x^{3}} x^{3} = - 2 x^{3}$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{16}{x^{3}} x^{3} = - 2 x^{3}$

Этап 2.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$16 = - 2 x^{3}$

Этап 2.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем уравнение в виде $- 2 x^{3} = 16$ .

$- 2 x^{3} = 16$

Этап 2.5.2

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x^{3} - 16 = 0$

Этап 2.5.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 x^{3} - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x^{3} - 16 = 0$

Этап 2.5.3.1.2

Вынесем множитель $- 2$ из $- 16$ .

$- 2 x^{3} - 2 \cdot 8 = 0$

Этап 2.5.3.1.3

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 (x^{3}) - 2 (8)$ .

$- 2 (x^{3} + 8) = 0$

Этап 2.5.3.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$- 2 (x^{3} + 2^{3}) = 0$

Этап 2.5.3.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$- 2 ((x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Этап 2.5.3.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.4.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.4.1.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})) = 0$

Этап 2.5.3.4.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- 2 ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)) = 0$

Этап 2.5.3.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 2 (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$

Этап 2.5.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 2 = 0$

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

Этап 2.5.5

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 2.5.5.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 2.5.6

Приравняем $x^{2} - 2 x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1

Приравняем $x^{2} - 2 x + 4$ к $0$ .

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

Этап 2.5.6.2

Решим $x^{2} - 2 x + 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.5.6.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2$ и $c = 4$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.3.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.3.1.3

Вычтем $16$ из $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.3.1.4

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.3.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.3.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.3.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.5.6.2.3.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Этап 2.5.6.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.4.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.4.1.3

Вычтем $16$ из $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.4.1.4

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.4.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.4.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.4.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.4.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.5.6.2.4.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Этап 2.5.6.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 1 + i \sqrt{3}$

Этап 2.5.6.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.5.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.5.1.3

Вычтем $16$ из $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.5.1.4

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.5.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.5.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.5.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.5.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.5.6.2.5.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Этап 2.5.6.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 1 - i \sqrt{3}$

Этап 2.5.6.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Этап 2.5.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 2 (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$ верно.

$x = - 2, 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $- 2$ в $f (x) = x^{2} + \frac{8}{x}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = {(- 2)}^{2} + \frac{8}{- 2}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2) = 4 + \frac{8}{- 2}$

Этап 3.1.2.1.2

Разделим $8$ на $- 2$ .

$f (- 2) = 4 - 4$

Этап 3.1.2.2

Вычтем $4$ из $4$ .

$f (- 2) = 0$

Этап 3.1.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 3.2

Подставляя $- 2$ в $f (x) = x^{2} + \frac{8}{x}$ , найдем точку $(- 2, 0)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 2, 0)$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 2)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2.1$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{16}{{(- 2.1)}^{3}} + 2$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 2.1$ в степень $3$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{16}{- 9.261} + 2$

Этап 5.2.1.2

Разделим $16$ на $- 9.261$ .

$f'' (- 2.1) = - 1.72767519 + 2$

Этап 5.2.2

Добавим $- 1.72767519$ и $2$ .

$f'' (- 2.1) = 0.2723248$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $0.2723248$ .

$0.2723248$

Этап 5.3

При $- 2.1$ вторая производная имеет вид $0.2723248$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, - 2)$ .

Возрастание в области $(- \infty, - 2)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- 2, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.9$ .

$f'' (- 1.9) = \frac{16}{{(- 1.9)}^{3}} + 2$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 1.9$ в степень $3$ .

$f'' (- 1.9) = \frac{16}{- 6.859} + 2$

Этап 6.2.1.2

Разделим $16$ на $- 6.859$ .

$f'' (- 1.9) = - 2.33270155 + 2$

Этап 6.2.2

Добавим $- 2.33270155$ и $2$ .

$f'' (- 1.9) = - 0.33270155$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 0.33270155$ .

$- 0.33270155$

Этап 6.3

При $- 1.9$ вторая производная имеет вид $- 0.33270155$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- 2, \infty)$ .

Убывание на $(- 2, \infty)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(- 2, 0)$ .

$(- 2, 0)$

Этап 8