Математический анализ Примеры

$y = \sqrt{9 x} \cos (x)$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{9 x}$ в виде ${(9 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(9 x)}^{\frac{1}{2}} \cos (x)$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(9 x)}^{\frac{1}{2}} \cos (x))$

Этап 3

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $9$ из $9 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(9 (x))}^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

Этап 4.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило умножения к $9 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [9^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

Этап 4.2.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [{(3^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

Этап 4.2.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [3^{2 (\frac{1}{2})} x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d}{d x} [3^{2 (\frac{1}{2})} x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

Этап 4.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d}{d x} [3^{1} x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

Этап 4.4

Найдем экспоненту.

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

Этап 4.5

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{\frac{1}{2}} \cos (x)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

Этап 4.6

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = \cos (x)$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 4.7

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 4.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 4.9

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Этап 4.10

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 4.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 4.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Этап 4.12.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Этап 4.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Этап 4.14

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Этап 4.15

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \frac{\cos (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Этап 4.16

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 4.17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.17.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x))) + 3 \frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.17.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.17.2.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 (x^{\frac{1}{2}} (\sin (x))) + 3 \frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.17.2.2

Объединим $3$ и $\frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- 3 x^{\frac{1}{2}} \sin (x) + \frac{3 \cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - 3 x^{\frac{1}{2}} \sin (x) + \frac{3 \cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 3 x^{\frac{1}{2}} \sin (x) + \frac{3 \cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$