Математический анализ Примеры

$\int_{\frac{1}{2}}^{1} (x^{- 3} - 5) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{\frac{1}{2}}^{1} x^{- 3} - 5 d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{\frac{1}{2}}^{1} x^{- 3} d x + \int_{\frac{1}{2}}^{1} - 5 d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2}]_{\frac{1}{2}}^{1} + \int_{\frac{1}{2}}^{1} - 5 d x$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- \frac{1}{2} x^{- 2}]_{\frac{1}{2}}^{1} + - 5 x]_{\frac{1}{2}}^{1}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $- \frac{1}{2} x^{- 2}]_{\frac{1}{2}}^{1}$ и $- 5 x]_{\frac{1}{2}}^{1}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} - 5 x]_{\frac{1}{2}}^{1}$

Этап 5.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем значение $- \frac{1}{2} x^{- 2} - 5 x$ в $1$ и в $\frac{1}{2}$ .

$(- \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2} - 5 \cdot 1) - (- \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 5 (\frac{1}{2}))$

Этап 5.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{1}{2} \cdot 1 - 5 \cdot 1 - (- \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 5 (\frac{1}{2}))$

Этап 5.2.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{1}{2} - 5 \cdot 1 - (- \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 5 (\frac{1}{2}))$

Этап 5.2.2.3

Умножим $- 5$ на $1$ .

$- \frac{1}{2} - 5 - (- \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 5 (\frac{1}{2}))$

Этап 5.2.2.4

Чтобы записать $- 5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2} - (- \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 5 (\frac{1}{2}))$

Этап 5.2.2.5

Объединим $- 5$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2} - (- \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 5 (\frac{1}{2}))$

Этап 5.2.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 1 - 5 \cdot 2}{2} - (- \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 5 (\frac{1}{2}))$

Этап 5.2.2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.7.1

Умножим $- 5$ на $2$ .

$\frac{- 1 - 10}{2} - (- \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 5 (\frac{1}{2}))$

Этап 5.2.2.7.2

Вычтем $10$ из $- 1$ .

$\frac{- 11}{2} - (- \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 5 (\frac{1}{2}))$

Этап 5.2.2.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{11}{2} - (- \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 5 (\frac{1}{2}))$

Этап 5.2.2.9

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

$- \frac{11}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 5 (\frac{1}{2}))$

Этап 5.2.2.10

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- \frac{11}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot 4 - 5 (\frac{1}{2}))$

Этап 5.2.2.11

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- \frac{11}{2} - (- 4 (\frac{1}{2}) - 5 (\frac{1}{2}))$

Этап 5.2.2.12

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{11}{2} - (\frac{- 4}{2} - 5 (\frac{1}{2}))$

Этап 5.2.2.13

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.13.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$- \frac{11}{2} - (\frac{2 \cdot - 2}{2} - 5 (\frac{1}{2}))$

Этап 5.2.2.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.13.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{11}{2} - (\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} - 5 (\frac{1}{2}))$

Этап 5.2.2.13.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{11}{2} - (\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} - 5 (\frac{1}{2}))$

Этап 5.2.2.13.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{11}{2} - (\frac{- 2}{1} - 5 (\frac{1}{2}))$

Этап 5.2.2.13.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$- \frac{11}{2} - (- 2 - 5 (\frac{1}{2}))$

Этап 5.2.2.14

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{11}{2} - (- 2 + \frac{- 5}{2})$

Этап 5.2.2.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{11}{2} - (- 2 - \frac{5}{2})$

Этап 5.2.2.16

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{11}{2} - (- 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{2})$

Этап 5.2.2.17

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{11}{2} - (\frac{- 2 \cdot 2}{2} - \frac{5}{2})$

Этап 5.2.2.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{11}{2} - \frac{- 2 \cdot 2 - 5}{2}$

Этап 5.2.2.19

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.19.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$- \frac{11}{2} - \frac{- 4 - 5}{2}$

Этап 5.2.2.19.2

Вычтем $5$ из $- 4$ .

$- \frac{11}{2} - \frac{- 9}{2}$

Этап 5.2.2.20

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{11}{2} - - \frac{9}{2}$

Этап 5.2.2.21

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{11}{2} + 1 (\frac{9}{2})$

Этап 5.2.2.22

Умножим $\frac{9}{2}$ на $1$ .

$- \frac{11}{2} + \frac{9}{2}$

Этап 5.2.2.23

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 11 + 9}{2}$

Этап 5.2.2.24

Добавим $- 11$ и $9$ .

$\frac{- 2}{2}$

Этап 5.2.2.25

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.25.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2}$

Этап 5.2.2.25.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.25.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Этап 5.2.2.25.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.2.25.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 5.2.2.25.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 6