Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x + e^{2 x}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 2 x + e^{2 x} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 2 x d x + \int e^{2 x} d x$

Этап 4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int x d x + \int e^{2 x} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int e^{2 x} d x$

Этап 6

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 6.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 6.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Этап 7.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Этап 9

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

Этап 10

Упростим.

$x^{2} + \frac{1}{2} e^{u} + C$

Этап 11

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$x^{2} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C$

Этап 12

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 2 x + e^{2 x}$ .

$F (x) =$ $x^{2} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C$