Математический анализ Примеры

$\frac{x^{2}}{2 y} + \frac{3 y^{2}}{x}$

Этап 1

По правилу суммы производная $\frac{x^{2}}{2 y} + \frac{3 y^{2}}{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2 y}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 y^{2}}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2 y}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2 y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{1}{2 y}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{2}}{2 y}$ по $x$ равна $\frac{1}{2 y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 y} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2 y} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Этап 2.3

Объединим $2$ и $\frac{1}{2 y}$ .

$\frac{2}{2 y} x + \frac{d}{d x} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Этап 2.4

Объединим $\frac{2}{2 y}$ и $x$ .

$\frac{2 x}{2 y} + \frac{d}{d x} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Этап 2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2 y} + \frac{d}{d x} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Этап 2.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x}{y} + \frac{d}{d x} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{3 y^{2}}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $3 y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3 y^{2}}{x}$ по $x$ равна $3 y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{x}{y} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 3.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$\frac{x}{y} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{x}{y} + 3 y^{2} (- x^{- 2})$

Этап 3.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{x}{y} - 3 y^{2} x^{- 2}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x}{y} - 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}$

Этап 4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x}{y} + y^{2} \frac{- 3}{x^{2}}$

Этап 4.2.2

Объединим $y^{2}$ и $\frac{- 3}{x^{2}}$ .

$\frac{x}{y} + \frac{y^{2} \cdot - 3}{x^{2}}$

Этап 4.2.3

Перенесем $- 3$ влево от $y^{2}$ .

$\frac{x}{y} + \frac{- 3 \cdot y^{2}}{x^{2}}$

Этап 4.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{x}{y} - \frac{3 y^{2}}{x^{2}}$