Математический анализ Примеры

$\frac{1}{3 \sqrt[3]{x}}$

Этап 1

Запишем $\frac{1}{3 \sqrt[3]{x}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{3 \sqrt[3]{x}} d x$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Этап 5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Этап 5.2

Вынесем $x^{\frac{1}{3}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{3} \int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Этап 5.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \int x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

Этап 5.3.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int x^{\frac{- 1}{3}} d x$

Этап 5.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{3} \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C)$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $\frac{1}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C)$ в виде $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{3 \cdot 2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 7.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{3}{6} x^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 7.2.3

Сократим общий множитель $3$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 (1)}{6} x^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 7.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 7.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 7.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 8

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$