Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\ln (4 x)} \sin (2 e^{t}) d t$

Этап 1

Возьмем производную от $\int_{0}^{\ln (4 x)} \sin (2 e^{t}) d t$ по $x$ , используя основную теорему математического анализа и цепное правило.

$\frac{d}{d x} [\ln (4 x)] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Этап 2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x$ .

$\frac{1}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Этап 3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{4 x}$ .

$\frac{4}{4 x} \frac{d}{d x} [x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{4 x} \frac{d}{d x} [x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Этап 3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{x} \cdot 1 \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Этап 3.4

Умножим $\frac{1}{x}$ на $1$ .

$\frac{1}{x} \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Этап 4

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\frac{1}{x} \sin (2 (4 x))$

Этап 5

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{1}{x} \sin (8 x)$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{x}$ и $\sin (8 x)$ .

$\frac{\sin (8 x)}{x}$